Д ослідження функції двох змінних на найбільше і найменше значення в закритій області

а) Шукають критичні точки, які входять в область і, в яких z^‘_х і z^’_у дорівнюють нулю або не існують.

б ) Шукають критичні точки на межі області. Якщо треба, розбивають її на

різні криві . На кожній кривій функція z стає функцією однієї змінної (якщо з рівняння кривої виразити одну змінну через іншу і підставити знайдений вираз у формулу функції z).

в) Обчислюють значення функції z в усіх знайдених критичних точках і в точках, де з’єднуються криві і вибирають з них найбільше та найменше значення.

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції z = x² + y² - xy +x+ y в області D, обмеженій лініями x=0, y=0, x+y+3=0.

Зобразимо область D. Це трикутник у третій координатній чверті.

М(-1;-1) є D.

,

,

A -3 M₁ B

M₂

M

M₃

-3

C

.

Д обавимо ще точки А(-3;0), В(0;0), С(0;-3).

z (M)=z(-1;-1)=1+1-1-1-1=-1 -- найменше значення z

z(M₁)=z(-1/2;0)=1/4-1/2=-1/4 z(M₂)=-1/4

z(M₃)=9/4+9/4-9/4-3/2-3/2=-3/4

z(A)=z(C)=z(-3;0)=9-3=6 -- найбільше значення z

z(B)=z(0;0)=0.