Частинні похідні і градієнт

z

z=f(x,y)

z

y y

x

Нехай визначена в деякому околі точки М(х,у). Точка належить цьому околу. називається частковим приростом ф-ції z по змінній х в точці М.

Аналогічно можна знайти частковий приріст ф-ції по змінній у: нехай точка належить також області визначення функції ,

Якщо взяти точку із області визначення функції, то

називається повним приростом функції z в точці М.

Означення. Частинною похідною ф-ції z в точці M(х,у) по змінній х – наз. границя відношення часткового приросту ф-ції по змінні х до приросту аргументу , коли , якщо ця границя є числом. Позн. , або :

Аналогічно можна шукати частинну похідну по змінній у. Позн. або :

Оскільки означення частинної похідної по х співпадає з означенням похідної ф-ції однієї змінної х при сталому у, то частинну похідну можна шукати за табличкою похідних і правилами диференціювання ф-ції однієї змінної, вважаючи х змінною, а у сталою.

Аналогічно шукають , але тоді у – змінна, а х – стала.

Приклад.

Домашнє завдання на I практ.заняття. Повторити табличку похідних і правила диференціювання. Написати її в зошит з прак. занять.

Нехай треба знайти частинні похідні в точці М(3;0), то

, тобто підставляють координати точки у частинні похідні.

Отже, частинні похідні ф-ції двох змінних в точці це два числа.

Вектор з такими координатами і наз. повною похідною або градієнтом

ф-ції z в точці М. Позн. або

Пр.1.

Пр.2. Знайти: в точці М(0;1)

П овний приріст функції і диференціал

z(M₁)

z(M)

y y+

x M

x+ M₁

Нехай точки належать області

визначення функції z.

• п овний приріст ф-ції в точці М(x;y).

Я кщо повний приріст ф-ції в точці М можна ось так виразити через прирости аргументів

, де швидше прямує до нуля ніж

при : ,а - деякі числа, то функція називається диференційованою в точці М(х,у).

Величиною можна знехтувати.

Основна частина приросту називається диференціалом функції і позначається dz :

якщо прирости аргументів і малі.

Приклад. Знайти приріст і диференціал функції в т.М(1,-2).

р р -

нескінченно швидше прямує до нуля ніж відстань М М при

Отже, dz= .

В точці М:

Теорема. Якщо f диференційована в точці М(х,у), то існують частинні похідні в т.М, які дорівнюють числам та відповідно:

Тоді формула диференціалу має вигляд:

Перевіримо формулу на нашому прикладі

тоді - зійшлося.

Якщо , то , і Аналогічно .

і формула для диференціалу набуває вигляду:

(1)

Ця формула диференціалу має таку властивість інваріантності: вона правильна навіть тоді, коли х та у є внутрішніми функціями від інших змінних.

Похідна складної функції

1) Якщо функція двох змінних , де , тобто аргументи u та v є внутрішніми функціями від змінних х та у то її частинні похідні шукаються за формулами:

Mожна показати це, використовуючи властивість інваріантності диференціалу

Приклад. , де ,

2)Якщо ф-ція , де , тобто u та v є внутрішніми функціями від змінної t, тоді z є складеною функцією від одної змінної t і її похідну шукають аналогічно за формулою.

Приклад. , де

Підставивши u та v отримаємо складну ф-цію , з якої важко взяти похідну. Треба логарифмувати. А за нашою формулою

(можна тепер підставити u та v) .

Похідна неявно заданої функції

1. Нехай функція однієї змінної y = y (x) задана неявно,

F (x, y) = 0

тобто рівнянням , де , де F – функція двох змінних.

Візьмемо диференціали з обох частин цього рівняння: dF = 0 і, оскільки, формула диференціалу правильна і тоді коли х чи у є внутрішніми функціями,

dF = F_x^’ dx + F_у^’ dy,

F_x^’dx + F_у^’dy = 0.

З цього рівняння знайдемо похідну:

^у’_x = тобто в чисельнику береться похідна з F по змінній, а в знаменнику похідна з F по функції

2) Нехай функція двох змінних z(x, y) задана неявно, тобто рівнянням

F (x, y, z) =0 0

, де F (x, y, z) – функція трьох змінних.

Коли ми шукаємо z_x^’, то х – змінна, z – функція, а у – стала. Тому на

р

^z’_x =

івняння F (x,y,z) = 0 подивимось як в пункті 1) і за попередньою формулою:

Аналогічно, коли ми шукаємо z_y^’ , то у – змінна, z – функція і тоді:

^z’_y =

Приклад.

^z’_x =

^z’_у =

Похідна в напрямку

z(M₁)

z z=f(x,y)

z(M)

O

M

M₁

Задана функція z = f (x, y) в деякому околі

точки М (x, y) і напрямок руху в площині

Оху вектор = ( ). Позначимо вектор