Дослідження на опуклість

Нехай функція f неперервна на (а,b)

Функція називається опуклою вниз (вгнутою) на інтервалі (а,b), якщо для будь-яких точок із (а,b) графік функції на проміжку ( ) лежить не вище від січної, що проходить через точки з абсцисами . Позначається: f на (а,b).

Функція буде строго опуклою вниз на (а,b), якщо – графік на ( ) лежить нижче від січної.

Функція називається опуклою вверх (опуклою) на інтервалі (а,b), якщо для будь-яких точок із (а,b) графік функції на проміжку ( ) лежить не нижче від січної, що проходить через точки з абсцисами . Позначається: f (а,b).

Функція буде строго опуклою вверх на (а,b), якщо – графік на ( ) лежить вище від січної.

Якщо функція неперервна в деякому околі точки і при переході через точку функція змінює опуклість то ця точка називається точкою перегину функції.

Приклади. - опукла вниз на R. y=ln x – опукла вверх на (0, ).

- опукла вверх на ( ,0], опукла вниз на [0, ), і точка х=0 є її точкою перегину.

Розглянемо графік опуклої вниз функції. Нехай . Побудуємо дотичні в цих точках. Позначимо кути, які дотичні утворюють з додатнім напрямком Ох , , відповідно.

З малюнка бачимо, що кут зростає при зростанні х:

< < (кут вважаємо з проміжку [ ]).

Функція tg х зростає на ( ) то

tg <tg <tg , тобто . А це означає, що зростаюча функція на даному проміжку.

Д ля опуклої вверх і диференційованої на (а,b) функції її похідна на (а,b).

Отже, для того щоб дослідити функцію на опуклість потрібно дослідити на монотонність її похідну , а для цього шукають , тобто . Тому справедливі теореми.

Т.1. Якщо f двічі диференційована на (а,b) і 1) (x)>0 на (а,b) то f опукла вниз на (а,b);

2) (х)<0 на (а,b) то f опукла вниз на (а,b).

Т.2. Якщо точка є (а,b), функція f неперервна на (a,b) і існує друга похідна зліва і справа від т. , яка при переході через точку змінює знак, то є точкою перегину функції f.

Приклад1. Дослідити на опуклість функцію .

Функція елементарна, тому неперервна на своїй області визначення, тобто на R.

– не існує при х=0.

+ - y’’

0 x

т. перегину y

– немає розв’язків.

Наносимо на числову пряму область визначення початкової функції.

П риклад 2. Дослідити на опуклість функцію .

Ф

- + y’’

½ x

т. перегину y

ункція елементарна, тому неперервна на своїй області визначення,

тобто на R. – існує завжди. .

Дослідження на асимптоти.

Означення. Асимптотою графіка функції f(х) називається пряма, до якої наближається точка графіка функції при нескінченному віддаленні від початку координат: d(M, l ) .

Асимптоти можуть бути вертикальні, горизонтальні і похилі.

1. Вертикальна пряма з рівнянням буде вертикальною асимптотою графіка функції f, якщо в точці є нескінченний розрив, тобто хоча б одна ліва або права границя в цій точці є нескінченністю: .

Нехай точка графіка М(х,у), y=f(x). Тоді при d=x- а OM= .

Приклад. Функція . ОДЗ: . В точці 0 – розрив. – нескінченний розрив (ІІ рід). Вертикальна асимптота х=0. (В такому випадку корисно знайти окремо ліву і праву границю функції в точці розриву.)

2. Горизонтальна пряма з рівнянням у=b буде асимптотою графіка функції f, якщо (границя може бути тільки на одній з нескінченостей на + чи на - ).

Нехай точка графіка М(х,у), y=f(x). Тоді при d=f(x)-b а OM= .

П риклад.

, – горизонтальна асимптота на .

,

– горизонтальна асимптота на .

3. Похила пряма з рівнянням y=kx+b є асимптотою графіка функції f(x), якщо існують і є числами границі , (границі можуть бути тільки на одній з нескінченостей на + чи на - ).

Приклад. Дослідити на асимптоти на нескінченності функцію .

ОДЗ: . Можна шукати границю на нескінченності. – не число, немає горизонтальної асимптоти. Але може бути похила.

=1+0=1 – число, k=1,

– число, b=0. Отже, у=х – похила асимптота на , тобто одночасно на + і на - .