1 % Заготовок приводится в негодность в ходе подготовки к визуальной проверке, а также в ходе самой проверки.
Описанная выше проверка касалась только дефектов, которые могли быть обнаружены визуально. Прочие дефекты, необнаруживаемые визуально, являются причиной отказа одного диска из ста в ходе окончательного тестирования. Это накладные издержки, общие и постоянные, независимо от пропорции исходного материала, подвергаемого визуальной проверке. По этой причине мы не рассматриваем их в нижеприведенной таблице издержек.
Стоимость, добавляемая в ходе изготовления диска, равна 11 долларам. Стоимость заготовки в производимом диске который не прошел контроль, подлежит рекламации: таким образом, потери на один диск составляют 11 долларов, не считая издержек на рекламацию. Пусть f доля материала, проверенного по описанному плану (=65/1000=0,065)
k1 — стоимость визуальной проверки одной заготовки (=7 центов)
В — стоимость одной заготовки (2 доллара)
K2 — добавленная стоимость (11 долларов) на одно изделие
р — среднее качество исходного материала в терминах визуально обнаруживаемых дефектов (= 0,025)
р’ - средняя доля дисков, неисправных из-за прочих дефектов (=0,01)
р” - средняя доля заготовок, допущенных в производство согласно описанному плану, которые однако. не прошли бы визуальный контроль, если бы были подвергнуты проверке, (0,025[1—65/1000] = 0,023).
F — доля заготовок, приведенных в негодность в ходе подготовки их к визуальной проверке, а также в ходе самой проверки (=0,01).
Теперь мы можем составить таблицу 6 для определения издержек.
Заключение. Разрыв между 100%-й проверкой и используемым планом столь велик, что вполне можно порекомендовать немедленно внести в него изменения. Эта рекомендация необходима в силу значительных отклонений в доле брака и затрат в вышеприведенной таблице.
Тем временем продолжаются совместные усилия поставщика и производителя по улучшению качества заготовок в надежде пересечь точку перелома с тем, чтобы отказаться от визуальной проверки и связанной с ней подготовки заготовок к проверке.
Примечание: Точка перелома отнюдь не выражается здесь простым отношением k1/k2, как было до сих пор, однако мы не будем входить в эти сложности.
Упражнение 6. Оно демонстрирует бессмысленность следующего правила, предъявленного одним большим концерном поставщикам:
Вследствие того, что мы полагаемся на выборочную проверку для определения приемлемости поставляемого материала, одна дефектная единица поставки приводит к отказу от целой партии.
Комментарии: (1) собственно говоря, большая часть партий направляется прямо в производственный цикл, пройдя проверку или без проверки. Клиент не может позволить себе отсрочек на проверку или на возвращение партии поставщику. (2) Если к k1>pk2, то выборочная проверка повысит совокупные издержки сверх минимума, достижимого при отсутствии про верки. К чему повышать издержки? (3) Если k1< pk2, то минимальные совокупные издержки достигаются в результате 100%-й, а не выборочной проверки. Опять же, к чему повышать издержки? (4) Если распределение качества исходных материалов полностью выпадает из статистической нормы и располагается вокруг точки перелома, то лучшим решением проблемы будет либо 100%-я проверка, либо использование правил Джойс Орсини (стр. 422). В таком случае, выходите из этого прискорбного положения. Работайте с поставщиком в целях улучшения качества, с тем, чтобы прийти к Случаю 1 (k1< pk2) и продолжайте совершенствование процесса, добиваясь, если возможно, нулевого уровня брака. (5) Короче говоря, цитированное выше требование отстало от жизни, неэффективно и гарантирует низкое качество при высоких издержках.
Упражнение 7. Оценка величины к. Мы исходим из допущения, что стоимость проверки детали, взятой из совокупной поставки S, равна обычной стоимости проверки детали, взятой из партии размером N. Пусть Хi = 1, если это деталь дефектная, либо же Хi = 0, если нет. Допустим, что Хi = 1, в таком случае деталь i оказывается дефектной. Тогда мы должны взять из совокупной поставки S ёще одну деталь и проверить ее: издержки составят k1. Она также может оказаться дефектной, и нам придется брать и проверять следующие, и так до тех пор, пока нам не попадется исправная деталь. Мы можем отразить эти возможности посредством дерева вероятностей на рис, 55. Средние издержки будут, очевидно, равны:
Рис. 55. Проверка деталей с показателем вероятности р при хi = 1, дефектная, и показателем вероятности ‚ при хi = 0, не дефектная.
Общие средние совокупные издержки на проверку одной детали и замену дефектной детали исправной составят k1+pk = k1/q
Так как в большинстве случаев р мало, q будет близко к единице, в каковом случае мы можем заменить выражение k1/q на k1.
Упражнение 8. Условные обозначения
N = количество единиц в партии
n = количество единиц в выборке (предположительно взятых методом случайных чисел из партии) - с заменой дефектных единиц на исправные
р = средняя доля дефектного исходного материала; эта величина р представляет собой приблизительный прогноз средней величины на ближайшие несколько недель.
q =1 — р
р’ = средняя доля дефектных единиц в отвергнутых партиях, подлежащих сплошной проверке
р” = средняя доля дефектных единиц в принятых партиях, которые будут отправлены непосредственно в производство
k1 = стоимость проверки одной детали
k2 = стоимость разборки, ремонта, повторной сборки и тестирования сложного изделия в случае его отказа из-за дефектной детали, допущенной в производственный цикл
Р = средняя доля партий, предназначенных для сплошной проверки на начальной стадии контроля качества (т. е. отвергнутых).
Q = 1—Р = доля партий, принятых при первоначальной проверке.
Независимо от плана приемки, можно быть уверенным, что:
Теперь посмотрим, что будет происходить со средней партией, если мы прибегнем к этому плану.
n деталей без дефектов, неотправляемые в производство, (N — п) (детали, неотправляемые непосредственно в производство без проверки; среднее качество = р
(N—п) Р детали отвергнутые и подлежащие сплошной проверке. Затем исправные из их числа будут допущены к производству.
а) средние совокупные издержки составят:
б) Если p < k1/ k2 то p” — k1/ k2 будет отрицательной величиной, и мы достигнем минимальных общих издержек при п = 0 (Случай 1).
с) Если p > k1/ k2 и если мы преуспели в нахождении плана, обеспечивающего отрицательное значение величины р”— k1 k2 то средние совокупные издержки будут ниже издержек при 100%-й проверке.
д) Но если, несмотря на все наши усилия, наш план сохраняет положительное значение величины р” — k1/k2 то совокупные издержки превысили бы расходы в случае 100%-й проверки исходного материала. Эта та самая западня, избегать которую мы учились на примере 5.
Рис. 56. Масса в 50 шариков останавливается механически лопаткой с 50 отверстиями в ней из большого количества красных и белых шариков. Мы определяем 20 шариков как образец, а оставшиеся 30 - как остаток.
Приложение к главе 15
Эмпирическая демонстрация нулевой корреляции между количеством дефектных изделий в выборке и количеством таковых в остатке, когда процесс находится в рамках статистической нормы.
Слегка изменим эксперимент с красными и белыми бусинами, описанный в Главе 11 на стр. 356, чтобы за несколько минут продемонстрировать нулевую корреляцию между количеством дефектных единиц в выборках, взятых из партии и количеством дефектных единиц в остатке.
Математическое доказательство содержится в Уравнении 4 Упражнения 1 на стр. 453. Тот же самый эксперимент покажет наличие слабой корреляции между выборками и партиями.
Необходимо всего лишь поделить партию из 50 бусин в эксперименте на 2 части так, чтобы одна часть представляла выборку, а вторая - остаток (рис. 56). Сосчитайте и запишите количество красных бусин в выборке и остатке каждой партии, затем верните все 50 бусин в исходную емкость. Перемешайте их и изымите новую партию.
Нам помогут некоторые специальные обозначения. Мы будем получать партии постоянной величины М с дефектными единицами, биноминально распределенными вблизи средней величины р. Возьмите без замещения из каждой партии выборку стандартной величины п. Сосчитайте дефектные единицы в каждой выборке и каждом остатке. Пусть s будет количеством дефектных единиц в выборке, а r — их количеством в остатке (как это делалось выше). Тогда s и r будут случайными переменными величинами, смешанное распределение которых показано в Уравнении 4 на стр. 453. Пусть
Переменные p уменьшаются по мере увеличения N и n. Отсюда следует, что большая выборка, взятая из большой партии, дает информацию о дефектных единицах в остатках, следовательно, о дефектных единицах также и в партиях.
Более того, мы можем применить к указанной проблеме (целью которой является выявление характеристик партий через выборки) теорию выборки для оценки характеристик партий, а также для оценки стандартных ошибок этих оценок.
Обратимся теперь к некоторым реальным результатам, полученным при селекции партии и выборке определенных размеров. Рис. 57 58, 59 и 60 показывают пропорцию красных бусин в биноминальных выборках и остатках для выбранных величин N и n (которые любезно рассчитал мой друг Бенджамин Дж. Теплинг на своем компьютере). Собственно говоря, как выборка, так и остаток являются выборками одной и той же партии. В каждом графике 100 выборок. Эти графики отчетливо иллюстрируют нулевую корреляцию между выборкой и остатком. Однако, чем больше выборка, тем надежнее оценка пропорции красных бусин в выборках и остатках. Так, рис. 60, где выборка имеет объем n =1000 и остаток N—п = 9000, ясно показывает, что крупная выборка обеспечивает лучшую оценку содержания, как остатка, так и всей структуры (выборка плюс остаток) — в данном случае, емкости с красными и белыми бусинами, даже если выборка и остаток не коррелированы. Поразительной особенностью статистической теории является ее способность подсчитать, на основе единственной выборки, если она достаточно большого объема, размер футбольного мяча, на рис. 57—60, который содержит в среднем, скажем, около 95% всех точек. Таким образом, теория выборки позволяет производить оценку характеристик остатка и целой партии, а также стандартных ошибок этих оценок.
Рис. 57 N = 50 п = 20 Здесь образец и остаток не очень разнятся по размерам, соотносясь как 20 и 30 соответственно. Таблица не отражает какой взаимосвязи между соотношением красных шариков в образце и соотношением красных шариков в остатке.
Рис. 58 N = 600, п = 20 Здесь изменения в соотношении красных шариков в остатке явно намного меньше, чем изменения в образце. Причина в том, что остаток имеет размеры N-n = 600-20=580, во много раз отличается от размеров образца. Здесь опять взаимосвязь между соотношением красных шариков в образце и соотношением красных шариков в остатке оказывается равной нулю.
Рис. 59. N = 600, n = 200. Здесь мы видим, что получается, когда мы увеличиваем размеры образца до 200 и уменьшаем остаток до 400. Эта таблица, как и ранее, иллюстрирует нулевую взаимосвязь между соотношением красных шариков в. остатке.
Рис. 60. N = 10,000, п = 1000 Опять нет взаимосвязи.