Упражнения

Упражнение 1. Дано: емкость с красными и белыми бусинами, Пропорция красных бусин р, белых – q (рис. 53).

Шаг 1. Методом случайных чисел с замещением изъятых бусин извлечь из емкости партию размера N. Получаем:

N всего

Х красных

N—Х белых

Шаг 2. Методом случайных чисел без замещения взять выборку объемом n. Получаем:

Рис. 53. Выборка берется из чаши с красными и белыми шариками. Образцы затем берутся из выборки. Замена каждого шарика, заложенного в выборку, подтверждает постоянство соотношения р в выборке при каждом отборе.

Шаг 3. Вернуть бусины из выборки в партию.

Шаг 4. Повторить Шаги 1, 2 и З несколько раз, поддерживая постоянный объем партии и объем выборки из нее. Запишите результаты для r и s.

Теоретическое распределение r и s будет

Выводы: (а) количество красных бусин в выборке объемом n и количество красных бусин в остатках биноминально распределены примерно в одной пропорции р и (b) они не связаны друг с другом. Иными словами, количество r красных бусин в остатках, соответствующих вы боркам с s = 17 дефектных единиц, будут иметь точно та кое же распределение, что и красные бусины в остатках, соответствующих образцам с s = О дефектных единиц.

Это теорема ужасает. Она показывает, что если отдельные дефектные единицы являются независимыми, что практически должно быть в случае, когда процесс находится в рамках хорошей статистической нормs, то успех любой попытки разработки плана приемки будет соответствовать результатам подбрасывания монеты с целью отбора остатков, подлежащих сплошной проверке. (Подбрасывание монеты несравненно дешевле, нежели тестирование образцов изделия).

Вместо изъятия выборки из партии изделий можно просто разделить партию на две части, выборку и остаток, методом случайных чисел.

Упражнение 2. Если распределение дефектных изделий в партиях более комплектное по сравнению с биномиальным и если правило приемки остатка основано на тестировании выборки, то следует ввести правило принимать остаток таким, как он есть, когда в выборке много дефектных изделий, и отвергать и подвергать сплошной проверке, если в выборке обнаружено мало дефектных изделий и если их не обнаружено вовсе, а не использовать обычные правила, противоположные данному.

Простейший способ понять суть вышеизложенного это рассмотреть случай, когда все поступающие партии исходного продукта содержат идентичное количество дефектных единиц. Дефектные единицы, не попавшие в остаток, окажутся в выборке, и наоборот. Следовательно, наличие значительного количества дефектных единиц в выборке указывает на их малое количество в остатке.

И.Д. Хилл (1960) указал второй способ производить партии с единообразным уровнем качества, допустим, 20 машин производят одно и то же изделие, из них 19 вы пускают изделия без брака, а одна выпускает только брак. Возьмите по одному изделию от каждой машины, таким образом вы получите партию изделий. Тогда каждая партия из 20 изделий будет иметь ровно 5% брака.

Партии изделий с почти стабильным качеством - не такая уж редкость. Для примера приведем блок из, скажем, 12 конвейерных дисков. Они перемещают металлические листы для штамповки. Один из конвейерных дисков неисправен. Почти вся произведенная с его помощью продукция оказывается бракованной. Остальные 11 в полном порядке, партии из 12 последовательно произведенных изделий будут содержать около 1/12 или 8,3% брака.

Упражнение 3. Доказательство правила все или ничего. Изымите случайно (методом случайных чисел) деталь из партии продукции. Назовем ее деталь i. Она окажется бракованной или наоборот. Следует ли предварительно проверить ее или же запустить в производство без проверки независимо от того, дефектная она или нет? Изобразим средние совокупньте издержки в виде таблицы (таб лица 5).

Мы видим, что Да и Нет равны, если p = k₁/k₂. Это свойство было названо Александром Мудом точкой перелома качества. В точке перелома совокупные издержки равны как для Нет, так и для Да. Далее мы наблюдаем, что если p< k₁/k₂ в случае Нет общие издержки будут ни же, а если p> k₁/k₂ меньшие издержки обеспечиваются в случае да. (см. рис. 54).

Очевидно, что если наихудшая партия, которая поступит, например, на будущей неделе, расположится слева от точки перелома, то все прочие партии окажутся лучше и расположатся еще дальше влево. Ясно, что в этом случае отмена контроля обеспечит минимум средних совокупных издержек — Случай 1.

Если же, с другой стороны, лучшая партия, которая должна поступить, расположится справа от точки перелома, все остальные партии будут еще хуже и расположатся еще дальше вправо. Это Случай 2. Минимальные средние совокупные издержки будут достигнуты 100 % -й проверкой всех партий.

Таким образом, минимальные средние совокупные издержки лежат на ломаной линии ОСД. Если значения p близки к точке В, то есть точке перелома, различия между отсутствием контроля и 100% -м контролем будут незначительными.

Упражнение 4. Минимальные средние совокупные издержки в случае множественных комплектующих допустим, у нас всего М комплектующих. При этом рi —средняя доля брака для комплектующей i, а, Кi — издержки на тестирование одной комплектующей. Дополнительные издержки, связанные с отказом собранного узла, обозначим через К, предположительно равное в случае любой комплектующей. (Некоторое изменение условных обозначений необходимо в связи с тем, что мы будем использовать символы к₂ для обозначения издержек тестирования комплектующей 2). Следует ли нам проверить все комплектующие или только часть? Если только некоторые, то какие именно? Используем приближенное значение Уравнения 3, стр. 433.

Различие между двумя планами будет в пользу Плана 2 на сумму

Какие комплектующие мы должны подвергнуть проверке и какие оставить без проверки, чтобы свести общие издержки к минимуму? Иными словами, каким образом мы можем максимизировать разницу между двумя планами? Ответ очевиден. Расположите М членов прогрессии.

в нисходящем порядке величины. Члены прогрессии начнутся с положительной величины, будут уменьшаться, пересекут нулевую отметку и будут продолжать уменьшаться. для достижения минимальных средних издержек величина суммы в вышеприведенной формуле должна быть максимальной. Соответственно, правило минимальных средних совокупных издержек формулируется следующим образом:

1. Комплектующие, для которых кi — Крi>0 являет- позитивным, не проверяются.

2. Проверьте все остальные комплектующие, для которых кi — крi является отрицательной величиной.

Рис. 54. График, отражающий минимальную совокупную стоимость детали в выборке бракованных деталей, как функцию качества исходных деталей р. Минимальный процент брака располагается вдоль ломаной линии ОСД. Перелом С возник при переломе качества, точка В, где p = k₁/k₂. Общая стоимость доведена до максимума путем использования 100 % проверки, где никакая проверка не даст минимальной совокупной стоимости и наоборот.

Следует поработать со всеми поставщиками, чтобы принести уровень качества всех комплектующих к статистической норме и уменьшить ее до рi. Успех этих усилий снизит совокупные издержки и позволит время от времени отказываться от проверки некоторых комплектующих.

Замечание 1. Простой сдвиг от отрицательной к положительной величине вызовет лишь незначительное сокращение издержек, в то время как большой скачок от значительной отрицательной величины к значительной положительной приведет к существенному сокращению издержек.

Замечание 2. Можно сказать, что каждая комплектующая имеет точку перелома качества, определяемую рi=Кi/К. Таким образом, наш результат для множественных комплектующих всего лишь повторяет План 1 и План 2 для простой комплектующей.

Замечание 3. С комплектующей, у которой распределение доли дефектных изделий располагается по обе стороны от точки перелома качества, следует поступать точно также как и с одной комплектующей.

Замечание 4. Используйте 100%-ю проверку каждой комплектующей, которая не находится в пределах хорошей статистической нормы: тем более, если она находится в состоянии хаоса.

Упражнение 5. (Задача показать, что если качество исходного материала стабильно лежит преимущественно на одной стороне от точки перелома качества, принятие любого плана контроля, кроме правил все или ничего рискует повысить совокупные издержки). Допустим, что мы проверяем долю f партии исходных материалов со средним уровнем брака р. Отбор деталей производится методом случайных чисел. В таком случае средние совокупные издержки на единицу подлежащего проверке материала и дополнительные издержки на ремонт и повторное тестирование собранного блока, вышедшего из строя из-за неисправной комплектующей, составит:

(пренебрегая издержками kp).

Вопрос заключается в том, какой должна быть вели чина f чтобы свести к минимуму у? Отметим для на чала, что у=k₁ независимо от величины f в точке, где p = k₁/k₂ (т. е. в точке перелома).

Слева от точки перелома p < k₁/k₂ Удобно переписать уравнение 5 в следующем виде

(6)

Очевидно, что если мы позволим изменяться в пределах от О до 1 слева от точки перелома качества, то у будет изменяться от своего минимума, равного pk₂ до k₁. Иными словами, любой контроль качества слева от точки перелома (p < k₁/k₂) только увеличит совокупные издержки. Очевидно, что любой план приемки в этом случае удвоит или утроит минимальные совокупные издержки.

Прежде чем исследовать область от точки перелома, где p > k₁/k₂, перепишем уравнение 5 следующим образом:

Если мы позволим f изменяться от О до 1 в этой области, у будет принимать значения от рk₂ и ниже до своего минимума k₁. Иными словами, 100%-я проверка справа от точки перелома качества приводит к минимальным совокупным издержкам. Менее чем 100%-я проверка (т. е. при f<1) увеличит средние совокупные издержки -по сравнению с минимальными.

На стр. 439 был приведен пример, предложенный Уильямом Дж. Лацко. Обратимся еще к одному примеру.

Иллюстративный пример. Некая компания принимает в качестве исходного материала алюминиевые заготовки для производства жестких дисков партиями по 1000 штук.

Ранее первым шагом по принятии партии был визуальный осмотр образцов в количестве 65 единиц, изъятых из партии наугад. Опыт показывает, что исходная заготовка, не прошедшая визуальный контроль, вызовет отказ готового диска, если ее использовать в производственном цикле. Каждая заготовка, отвергнутая в ходе визуального контроля, заменялась исправной.

Средняя пропорция заготовок, отвергавшихся в ходе визуальной проверки, составляла примерно 1 из 40, т. е. 0,025. Было принято за правило отвергать всю партию, если 5 или более заготовок в выборке признавались, непригодными (5 было верхним пределом, равным 3-м сигмам). Согласно отчетам, партии исходного материала чрезвычайно редко отвергались: на ближайшее будущее, соответственно, могла быть принята умеренная статистическая норма.

Таким образом, средняя доля дефектных, с точки зрения визуальной проверки, заготовок, используемых в производственном цикле, составляла 0,025 — (65/1000) Х Х0,025=0,023.

Полная стоимость визуального контроля составляет 7 центов на заготовку.