
Линейная алгебра
Матрицы и действия с ними.
Ма́трица
— математический
объект, записываемый в виде прямоугольной
таблицы чисел и допускающий алгебраические
операции между ним и другими подобными
объектами. Обычно матрицы представляются
двумерными (прямоугольными) таблицами.
Квадратной
называют матрицу, количество строк в
которой равно количеству столбцов.
Треугольная
матрица —
квадратная матрица, в которой все
элементы ниже или выше главной диагонали
равны нулю. Диагональная
матрица —
квадратная матрица, все недиагональные
элементы которой равны нулю.
Обра́тная ма́трица
— такая матрица A-1, при умножении на
которую исходная матрица A даёт в
результате единичную матрицу E:
Нулева́я ма́трица
— это матрица,
размера mxn,
все элементы которой равны нулю.Умножение
матрицы A на число λ
(обозначение: λA) заключается
в построении матрицы B, элементы которой
получены путём умножения каждого
элемента матрицы A на это число, то есть
каждый элемент матрицы B равен bij
= λaij.
Сложение
матриц A
+ B
есть операция нахождения матрицы C,
все элементы которой равны попарной
сумме всех соответствующих элементов
матриц A
и B,
то есть каждый элемент матрицы C
равен cij
= aij
+ bij
Вычитание
матриц A − B
определяется аналогично сложению, это
операция нахождения матрицы C, элементы
которой cij
= aij
– bij
Умножение матриц. Транспонирование матриц.
Транспонирование матриц
Транспонирование матриц – переход от матрицы А к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
Свойства транспонированной матрицы:
(AT)T=A
Линейность: (A+B)T = AT+BT
Умножение на число: (xA)T = x*(AT)
(A*B)T = BT*AT
Умножение матриц
.
Свойства умножения
АB != BA
0A = A0 = 0
ABC = A(BC)
(A+B)C = AC + BC
Матрица А и называется согласованной с В, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Если матрица А размерностью m на n, матрица B размерностью n на к, то матрица С=А*В будет размерностью m на к. Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;
Матрица называется транспонированной, если ее столбцы переписать в виде строк. Свойства транспонирования: (Ат)т = А; (А + В)т = Ат + Вт; (А В С)т = СтВтАт; Определитель 2-го и 3-го порядков имеем формулы(правило треугольника ):
= a11a22 – a12a21,
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31.
Определители и их свойства.
Определителем n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме всевозможных произведений элементов взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца.
Св-ва определителей:
В определителе строки и столбцы равнозначны.
Если все Эл-ты в строке или столбце = 0, то определитель =0.
Общий множитель строки или столбца можно выносить.
Если в определителе переставить местами 2 строки, то знак определителя изменится на противоположный.
Если в определителе 2 одинаковых строки/столбца, то определитель =0.
Если в определителе 2 строки пропорциональны, то определитель =0.
Определитель можно разложить на сумму.
Если в определителе некоторая строка/столбец является линейной комбинацией другой строки-столбца, то определитель =0.
Если к Эл-ам некоторой строки добавить соотв. Эл-ты другой строки умноженные на число не равное 0, то определитель не изменится.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки (столбца).
Минор-
определитель полученный из определителя
n-го
порядка вычеркиванием К каких-то строк
и К столбцов. Алгебраическим дополнением
элемента
матрицы
называется число
,
где
— дополнительный минор, определитель
матрицы, получающейся из исходной
матрицы
путем вычёркивания i -й строки и j -го
столбца.