1. Какие узлы использовать.

2. Какой класс приближенных функций использовать.

3. Какой критерий согласия будет применён.

4. Какая точность требуется.

1. Чаще всего используются равноудалённые узлы.

2. а. В инженерных расчётах обычно используют прямую, либо квадратичную

параболу. Реже многочлены более высокой степени, т.е. используют линейные комбинации

б. Гармонические функции: sin - этот класс используют в рядах и интегралах Фурье;

в. Показательные функции - .

3. Точное соответствие (совпадение в узлах).

4. Совпадение результатов до 3, 4 знаков.

Б. Кроме аналитического “представления” таблиц, мы уже рассмотрели представление графической информации. Т.е. это два главных применения интерполяционных формул. Наряду с задачей определения значений между узлами столь же актуальна задача определения значений функции за одним из граничных узлов (левым или правым), где сетка

е щё не сформирована. В этом случае можно говорить об экстраполяции функции. При этом используются обычные формулы интерполяции.

При использовании граничных условий (при численном решении уравнений в частных производных) приходится использовать различные формулы (схемы) интерполяции для сохранения точности вычислений (вперёд, назад, центральные).

Указанная задача может усложнится, если требуется “прослеживать” в процессе расчётов перемещения границы расположения различных сред в динамике, т.е. во времени. Например, в газовой динамике необходимо определять расположение скачка уплотнения и его перемещение. Сказанное относится к математическим моделям, описанным дифференциальными уравнениями в частных производных. “ Передний фронт” вычислительной математики в настоящее время располагается в сфере таких задач. Если дифференциальные уравнения обыкновенные, не имеют пространственного измерения, у них одна независимая переменная – время, то для выше указанных классов задач характерна двух – трёхмерная постановка задач.

Чаще такие математические модели принадлежат объектам управления. Но и среди элементов систем управления есть такие, которые описываются уравнениями в частных производных.

Соответственно и интерполяция требуется по двум – трём координатам.

Рассмотрим задачу интерполяции в такой постановке, Имеем

1. Пусть известное значение в точках: . Тогда легко получить систему уравнений (в n+1 точке)

Система имеет решение относительно , т.к. определитель Вандермонда

где

отличен от нуля при всех (нет двух равных строк). Задача имеет множество решений. Аналитическое выражение получено, но выбор точек произволен.

2. Можно потребовать, чтобы многочлен степени n (f(x)) проходил через фиксированные точки (равноотстоящие и не равноотстоящие). Введём понятие – разделённые разности – это разности функций в некоторых точках отнесённые к разности аргументов в этих точках: