
7. Дифференциальные уравнения
Определение 1. Дифференциальным называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные (или дифференциалы) различных порядков.
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называют порядок наивысшей производной в данном уравнении.
Общий вид дифференциального уравнения следующий: F(x,y,y',y",...,y(n))=0
Определение 3. Общим решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x,c1,c2,...,cn), обращающая это уравнение в тождество и содержащая столько независимых произвольных постоянных c1,c2,.cn, каков порядок уравнения.
Определение 4. Всякое решение, полученное из общего решения путем задания произвольным постоянным конкретных значений, называется частным решением дифференциального уравнения.
Определение 5. Уравнение первого порядка, имеющее вид:
f1(x)·φ1(y)dx+f2(x)·φ2(y)dy=0 (1)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Схема решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
1.Разделить переменные в уравнении (1), т.е. выразить коэффициент перед dx как функцию x, а коэффициент перед dy- как функцию y:
Получаем
уравнение
с разделенными переменными.
2.Интегрируя полученное равенство, находим общее решение уравнения:
Определение 6. Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно привести к виду: y'=f(y/x) (2)
называется однородным уравнением 1-го порядка.
Схема решения однородного дифференциального уравнения 1-го порядка.
1. Заменить отношение y/x новой переменной: y/x = u, где u-функция x
2. Выразить y=ux, найти y'=u'x+u и произвести замены в уравнении (2); в результате получаем уравнение с разделяющимися переменными: u'x+u=f(u)
3.Дальнейшее
решение уравнения проводят по
схеме:’x=f(u)-u
.
Получили уравнение с разделенными
переменными.
4.Проинтегрировать
полученное уравнение и найти общее
решение:
Определение 7 Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции и ее первой производной, т.е. уравнение вида: y"=f(x).
Схема решения дифференциального уравнения вида y"=f(x).
Заменить y'=u, где u=u(x). Найти y"=u'.
2.Подставить
y"=u'
в данное дифференциальное уравнение:
y"=f(x)
или u'=f(x).
Получили уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными. Его решение:
du=f(x)dx;
∫du=∫f(x)dx,
откуда: u=F1(x)+c1,
где (F1(x)+c1)’=f(x)
3.Заменить u=y': y'±F1(X)+c1
Вновь получили дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Его решение:
=F1(x)+c1;
dy=(F1(x)+c1)dx;
∫dy=∫(F1(x)+c1)dx
y=∫F1(x)dx+∫c1dx; y=F2(x)+c1x+c2, где (F2(x)+c2)'=F1(x) Получили общее решение дифференциального уравнения y"=f(x).
Определение 8. Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение:
y"+py'+qy=0.
Схема решения
линейного однородного дифференциального уравнения
2-го порядка с постоянными коэффициентами.
1. В данном дифференциальном уравнении заменить y" на k2, y'- на k1=k и y - на k0=1.
Получаем алгебраическое уравнение второй степени относительно переменной k: k2+pk+q=0, которое называют характеристическим уравнением дифференциального уравнения y"+py+qy=0.
2. Найти корни характеристического уравнения
а) если корни k1 и k2 характеристического уравнения действительные и различные, то общим решением дифференциального уравнения служит функция вида: y=c1ek1x+c2ek2x;
б) если корни k1 и k2 характеристического уравнения действительные и равные: k1=k2=k, то общим решением дифференциального уравнения служит функция вида: y=(c1x+c2)·ekx;
в) если корни k1 и k2 характеристического уравнения - комплексные числа: k1,2=α+βi (i2=-1), то общим решением дифференциального уравнения служит функция вида: y=eαx(c1cosβx+c2sinβx).
Решение типовых задач.
Задача 1. Найти общее и частное решения уравнения y'=y/x при x=1, y=2.
Решение. Найдем общее решение уравнения. Это уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Представим y'=dy/dx; после подстановки в дифференциальное уравнение получаем:
или
xdy=
-ydx
Разделим
переменные в полученном уравнении, для
чего левую и правую части уравнения
разделим на произведение x·y:
Получили уравнение с разделенными переменными: dy/y=-dx/x Проинтегрируем последнее уравнение и найдем общее решение:
,
откуда ln|y|=-ln|x|+c1
Представим произвольную постоянную с1 в виде: с1=ln|c|; ln|y|=-ln|x|+ln|c|; ln|y|+ln|x|=ln|c|, т.е. ln|y|·|x|= =ln|c|. Потенцируем последнее равенство, получаем: |y|·|x|=|c| или y=c/x -общее решение данного дифференциального уравнения. Из условия, что при x=1 y=2, найдем значение c: 2=c/1, т.е. c=2.
При этих условиях частное решение дифференциального уравнения имеет вид: y=2/x.
Задача 2. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения 2xy·y'=y2-4x2
Решение. Приведем данное уравнение к виду y'=f(y/x).
Сначала
выразим y'=
Выразим теперь производную как функцию отношения y к x, для чего разделим числитель и знаменатель правой части последнего уравнения на x2.
Получаем:
y'=
Заменим
= k,
y=ux,
а y'=u'x+u
x
Тогда
получаем u'x+u=
Последнее уравнение - это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
2uxdu = -(u2+4)dx
Разделим обе части последнего уравнения на произведение x(u2+4), в результате чего получим уравнение с разделенными переменными:
ln
=
-ln
+ln
ln
u2+4=
,
u2=
u=
Заменяем
и получаем: u=
и получаем:
=
откуда y= общее решение дифференциального уравнения.
Задача 3. Найти общее решение уравнения y"=2x+1.
Решение. Данное уравнение второго порядка. Оно не содержит искомую функцию и ее первую производную, поэтому решаем уравнение с помощью замены y'=u, y"=u'.
Получаем u'=2x+1 уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решаем его:
=2x+1,
du=(2x+1)dx,
u=∫(2x+1)dx;
u=x2+x+С1,
заменим u=y'; y'=x2+x+С1;
=x2+x+С1 dy=(x2+x+С1)dx y=∫(x2+x+С1)dx
y=
+ С1x
+ С2
- общее решение дифференциального
уравнения y"=2x+1.
Проверим правильность полученного решения:
Найдем
y'=
=x2+x+С1
Найдем y"=(x2+x+С1)'=2x+1
Подставив в данное дифференциальное уравнение значение y", получаем тождество: 2x+1=2x+1.
Значит, функция y= +С1x+С2 удовлетворяет данному дифференциальному уравнению и поэтому является его решением.
Задача 4. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
y"-5y'+6y=0
Решение: Составим характеристическое уравнение, заменяя y" на k2, y' на k и y на 1: k2-5k+6=0. Корни этого уравнения: k1=2, k2=3 - действительные и различные, поэтому общее решение дифференциального уравнения запишем в виде
y=С1ek1x+С2ek2x .В данном случае: y=С2e2x + С2e3x
Задача 5. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
y"+4y'+4y=0
Решение. Составим характеристическое уравнение k2+4k+4=0. Корни характеристического уравнения: k1=k2=-2. Поэтому общим решением дифференциального уравнения служит функция
y=e-2x(С1x+С2).
Задача 6. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
y"-6y'+13y=0
Решение.
Составим характеристическое уравнение
k2-6k+13=0.
Найдем корни уравнения по формуле: k1,2=
-p/2±
(общий вид характеристического уравнения
k2+pk+q=0)
Получаем:
k1,2=3±
k1,2=3±
K1,2=3±2
=3±2i
- корни комплексного вида k1,2=α+βi.
Поэтому α=3,
β=2.
Общим решением дифференциального
уравнения служит функция вида:
y=eαx(c1cosβx+c2sinβx).
В нашей задаче общее решение имеет вид:
y=e3x(c1cos2x+c2sin2x).
8. Приложения.
Таблица производных.
1. (C)x' = 0
2. (x)x' = 1
3. (un)x' = nun-1ux’ ; (xn)X' = nxn-1
4. (au)x' = auux'lna
5. (eu)x' = euux'; (ex)x' = ex
6.
(logau)x'
=
7.
(lgu)x'
=
;
(lgx)x’=
·0,4343
8.
(lnu)x'
=
; (lnx)' =
9. (sinu)x' = cosu·ux'; (sinx)x' = cosx
10. (cosu)x' = -sinu·ux'; (cosx)x' = -sinx
11.
(tgu)x'
=
ux'; (tgx)x'
=
12.
(ctgu)x'
=
; (ctgx)x'
=
13.
(arcsinu)x'
=
; (arcsinx)x'
=
14.
(arccosu)x'
=
(arccosx)x'
=
15.
(arctg u)x'
=
; (arctg u)x'
=
16.
(arcctgu)x'
=
; (arcctgx)x'
=
Таблица основных формул интегрирования.
1.
=x+С
2.
=
(n≠-1)
3.
= ln
+
С
4.
5.
= ex
+ С
6.
=sinx+С
7.
= -cosx + С
8.
=tgx+С
9.
= -ctgx + С
10.
=arcsinx+С
11.
=arctgx+С