Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПособиеВМ_040100_1семестр.docx

Скачиваний:

Добавлен:

06.08.2019

Размер:

389.36 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

7. Дифференциальные уравнения

Определение 1. Дифференциальным называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные (или дифференциалы) различных порядков.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называют порядок наивысшей производной в данном уравнении.

Общий вид дифференциального уравнения следующий: F(x,y,y',y",...,y⁽ⁿ⁾)=0

Определение 3. Общим решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x,c₁,c₂,...,c_n), обращающая это уравнение в тождество и содержащая столько независимых произвольных постоянных c₁,c₂,.c_n, каков порядок уравнения.

Определение 4. Всякое решение, полученное из общего решения путем задания произвольным постоянным конкретных значений, называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение 5. Уравнение первого порядка, имеющее вид:

f₁(x)·φ₁(y)dx+f₂(x)·φ₂(y)dy=0 (1)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Схема решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

1.Разделить переменные в уравнении (1), т.е. выразить коэффициент перед dx как функцию x, а коэффициент перед dy- как функцию y:

Получаем уравнение с разделенными переменными.

2.Интегрируя полученное равенство, находим общее решение уравнения:

Определение 6. Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно привести к виду: y'=f(y/x) (2)

называется однородным уравнением 1-го порядка.

Схема решения однородного дифференциального уравнения 1-го порядка.

1. Заменить отношение y/x новой переменной: y/x = u, где u-функция x

2. Выразить y=ux, найти y'=u'x+u и произвести замены в уравнении (2); в результате получаем уравнение с разделяющимися переменными: u'x+u=f(u)

3.Дальнейшее решение уравнения проводят по схеме:’x=f(u)-u . Получили уравнение с разделенными переменными.

4.Проинтегрировать полученное уравнение и найти общее решение:

Определение 7 Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции и ее первой производной, т.е. уравнение вида: y"=f(x).

Схема решения дифференциального уравнения вида y"=f(x).

Заменить y'=u, где u=u(x). Найти y"=u'.

2.Подставить y"=u' в данное дифференциальное уравнение: y"=f(x) или u'=f(x). Получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Его решение: du=f(x)dx; ∫du=∫f(x)dx, откуда: u=F₁(x)+c₁, где (F₁(x)+c₁)’=f(x)

3.Заменить u=y': y'±F1(X)+c1

Вновь получили дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Его решение:

=F₁(x)+c₁; dy=(F₁(x)+c₁)dx; ∫dy=∫(F₁(x)+c₁)dx

y=∫F₁(x)dx+∫c₁dx; y=F₂(x)+c₁x+c₂, где (F₂(x)+c₂)'=F₁(x) Получили общее решение дифференциального уравнения y"=f(x).

Определение 8. Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение:

y"+py'+qy=0.

Схема решения

линейного однородного дифференциального уравнения

2-го порядка с постоянными коэффициентами.

1. В данном дифференциальном уравнении заменить y" на k², y'- на k¹=k и y - на k⁰=1.

Получаем алгебраическое уравнение второй степени относительно переменной k: k²+pk+q=0, которое называют характеристическим уравнением дифференциального уравнения y"+py+qy=0.

2. Найти корни характеристического уравнения

а) если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения действительные и различные, то общим решением дифференциального уравнения служит функция вида: y=c₁e^k1^x+c₂e^k2^x;

б) если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения действительные и равные: k₁=k₂=k, то общим решением дифференциального уравнения служит функция вида: y=(c₁x+c₂)·e^kx;

в) если корни k₁ и k₂ характеристического уравнения - комплексные числа: k_1,2=α+βi (i²=-1), то общим решением дифференциального уравнения служит функция вида: y=e^αx(c₁cosβx+c₂sinβx).

Решение типовых задач.

Задача 1. Найти общее и частное решения уравнения y'=y/x при x=1, y=2.

Решение. Найдем общее решение уравнения. Это уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Представим y'=dy/dx; после подстановки в дифференциальное уравнение получаем:

или xdy= -ydx

Разделим переменные в полученном уравнении, для чего левую и правую части уравнения разделим на произведение x·y:

Получили уравнение с разделенными переменными: dy/y=-dx/x Проинтегрируем последнее уравнение и найдем общее решение:

, откуда ln|y|=-ln|x|+c₁

Представим произвольную постоянную с₁ в виде: с₁=ln|c|; ln|y|=-ln|x|+ln|c|; ln|y|+ln|x|=ln|c|, т.е. ln|y|·|x|= =ln|c|. Потенцируем последнее равенство, получаем: |y|·|x|=|c| или y=c/x -общее решение данного дифференциального уравнения. Из условия, что при x=1 y=2, найдем значение c: 2=c/1, т.е. c=2.

При этих условиях частное решение дифференциального уравнения имеет вид: y=2/x.

Задача 2. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения 2xy·y'=y²-4x²

Решение. Приведем данное уравнение к виду y'=f(y/x).

Сначала выразим y'=

Выразим теперь производную как функцию отношения y к x, для чего разделим числитель и знаменатель правой части последнего уравнения на x².

Получаем: y'=

Заменим = k, y=ux, а y'=u'x+u x

Тогда получаем u'x+u=

Последнее уравнение - это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

2uxdu = -(u²+4)dx

Разделим обе части последнего уравнения на произведение x(u²+4), в результате чего получим уравнение с разделенными переменными:

ln = -ln +ln ln

u²+4= , u²= u=

Заменяем и получаем: u= и получаем: =

откуда y= общее решение дифференциального уравнения.

Задача 3. Найти общее решение уравнения y"=2x+1.

Решение. Данное уравнение второго порядка. Оно не содержит искомую функцию и ее первую производную, поэтому решаем уравнение с помощью замены y'=u, y"=u'.

Получаем u'=2x+1 уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решаем его:

=2x+1, du=(2x+1)dx, u=∫(2x+1)dx; u=x²+x+С₁,

заменим u=y'; y'=x²+x+С₁;

=x²+x+С₁ dy=(x²+x+С₁)dx y=∫(x²+x+С₁)dx

y= + С₁x + С₂ - общее решение дифференциального уравнения y"=2x+1.

Проверим правильность полученного решения:

Найдем y'= =x²+x+С₁

Найдем y"=(x²+x+С₁)'=2x+1

Подставив в данное дифференциальное уравнение значение y", получаем тождество: 2x+1=2x+1.

Значит, функция y= +С₁x+С₂ удовлетворяет данному дифференциальному уравнению и поэтому является его решением.

Задача 4. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

y"-5y'+6y=0

Решение: Составим характеристическое уравнение, заменяя y" на k², y' на k и y на 1: k²-5k+6=0. Корни этого уравнения: k₁=2, k₂=3 - действительные и различные, поэтому общее решение дифференциального уравнения запишем в виде

y=С₁e^k¹^x+С₂e^k²^x .В данном случае: y=С₂e²^x + С₂e³^x

Задача 5. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

y"+4y'+4y=0

Решение. Составим характеристическое уравнение k²+4k+4=0. Корни характеристического уравнения: k₁=k₂=-2. Поэтому общим решением дифференциального уравнения служит функция

y=e^-2^x(С₁x+С₂).

Задача 6. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

y"-6y'+13y=0

Решение. Составим характеристическое уравнение k²-6k+13=0. Найдем корни уравнения по формуле: k_1,2= -p/2± (общий вид характеристического уравнения k₂+pk+q=0) Получаем: k_1,2=3± k_1,2=3±

K_1,2=3±2 =3±2i - корни комплексного вида k_1,2=α+βi. Поэтому α=3, β=2. Общим решением дифференциального уравнения служит функция вида: y=e^αx(c₁cosβx+c₂sinβx). В нашей задаче общее решение имеет вид: y=e³^x(c₁cos2x+c₂sin2x).