Алгоритмы.

30 Элементарные рекурсивные функции.

0(x) – константа «0», всегда равна нулю.

I_x – фиктивная переменная

S(x) = x+1 – функция сдвига

I_m(x₁, x₂, …, x_m, …, x_n) = x_m функция проекторов (введение фиктивных переменных)

31 Оператор суперпозиции.

Sⁿ_m(φ, f₁, f₂, …, f_m) = φ(f₁, f₂, …, f_m), где φ(t₁, t₂, …, t_m) – внешняя функция.

33 Общая схема примитивной рекурсии для функции 1 переменной.

f(x) = Пр (φ, ψ(x, y))

Пр: ┌f(0) = φ

└f(x+1) = ψ(x, f(x))

34 Общая схема примитивной рекурсии для функции 2 переменных.

f(x, y) = Пр (φ(x), ψ(x, y, z))

Пр: ┌f(x, 0) = φ(x)

└f(x, y+1) = ψ(x, y, f(x, y))

35 Оператор минимизации для функции 1 переменной.

g(x) = μ_xf(x)

Пусть f(y)=a, a∈N, тогда g(a) определена в т. a, если f(y₀)=a и y₀ – min корень и f(y) определена. Тогда g(a)=y₀. Иначе, g(a) не определена.

36 Какая функция называется примитивно-рекурсивной.

Функция называется ПР, если она м.б. получена из элементарных функций с помощью конечного числа применений операций суперпозиции и примитивной рекурсии.

37 Какая функция называется частично-рекурсивной.

Функция называется ЧР, если она м.б. получена из элементарных функций с помощью конечного числа применений операций суперпозиции, примитивной рекурсии минимизации.

38 Какая функция называется общерекурсивной.

Всюду определённые ЧР называются ОР.

39 Функции информационной ленты машины Тьюринга.

Хранение информации.

40 Функции считывающей-записывающей головки машины Тьюринга.

Считывать/записывать новый символ из/в ячейки (-у).

41 Функции управляющего устройства машины Тьюринга.

В зависимости от состояния символа УУ даёт СЗ-головке одну из трёх команд: R – движение вправо, L – движение влево, S – стоять на месте.

42 Внешний алфавит и внутренние состояния машины Тьюринга.

Состояние УУ (R, S, L).

43 Конфигурация на ленте машины Тьюринга.

Конфигурация – машинное слово с указанием расположения головки и состояния машины.

44 Команда машины Тьюринга.

Команда – запись вида q₂1q₄0R (Если машина находится в состоянии q₂, а головка считывает единицу, то УУ даёт команду машине на переход в состояние q₄, на месте единицы записывается 0, а головка перемещается на одну ячейку вправо).

45 Программа машины Тьюринга.

Программа – совокупность всех машинных команд, которые может выполнить эта машина.

46 Применимость и неприменимость машины Тьюринга к данному слову.

Машина не применима к данному слову, если она никогда не приходит в заключительное состояние.

47 Произведение машин Тьюринга.

Произведение машин T₁ и T₂ – машина T у которой число внутренних состояний равно k = n+m-1, заключительное состояние равно заключительному состоянию машины T₂, а остальные состояния определяются следующим правилом: q_i = q1_i (i=1…n), q_n+j = q2_j (j=1…m), а заключительное состояние T₁ заменяется начальным состоянием T₂.

48 Итерация машины Тьюринга по паре состояний.

Итерацией по паре состояний qⁱ₀ и q_j называется машина T(qⁱ₀, q_j), получаемая из таблицы машины T, если в ней заменить все состояния qⁱ₀ на состояние q_j.

49 Разветвление машин Тьюринга.

Пусть у T₁ есть 2 конечных состояния – qⁱ₀ и q^j₀ (i ≠ j). Тогда, заменив qⁱ₀ на q^T2₁ и q^j₀ на q^T3₁, получим новое множество внутренних состояний Q₁’ и новую программу П₁’.

50 Схемы машин Тьюринга.

1. T_i ∙ T_j – произведение машин

2. T = T_i ┌(k) T_j – разветвление машин

└(p) T_q

3. T = … Ṫ_i … Ṫ_j – итерация машин

51 Кодирование чисел и наборов чисел для машин Тьюринга.

Кодирование чисел:

K(a) – код числа a∈N

K(a) = 1^a+1 = 111…1 (a+1 единиц) => K(0) = 1, K(1) = 11, …, K(6) = 1⁷.

Кодирование наборов чисел:

b = (a₁, a₂, …, a_n)

K(a) = K(a₁)0K(a₂)0…0K(a_n) = 1^a₁⁺¹01^a₂⁺¹0…01^a₂⁺¹.

52 Программа вычисления 0(x).

0(x)	0	1
q1	q01S	q10R

53 Вычислимость (правильная) по Тьюрингу.

Для каждой ЧР словарной функции, опр-ной в некотором алфавите, существует машина Тьюринга с символами этого алфавита и подходящими внутренними состояниями, которая вычисляет данную функцию.

54 Программа для S(x).

S(x)	0	1
q1	q01S	q11L