Математическая логика интех 2009 Уровень а (Формулировки без доказательства)

1 Высказывания: простые, сложные, примеры высказываний.

Высказывание – повествовательное предложение, по которому можно сказать, истинно оно или ложно.

2 Истинностное значение высказывания.

Истинное или Ложное высказывание. Ист-ть сложных определяется ист-м зн-м простых выск-ний.

3 Дать определение конъюнкции и импликации.

4 Дать определение дизъюнкции и эквиваленции.

5 Определение формулы алгебры высказываний.

Формула: любая константа, ¬, выражения AxB, x={v, &, ~, →}

6 Свойство коммутативности и дистрибутивности. Какие логические связки им удовлетворяют?

AxB=BxA, Av(B&C)=(AvB)&(AvC), A&(BvC)=(A&B)v(A&C), x={v, &}

7 Свойство ассоциативности и идемпотентности. Какие логические связки им удовлетворяют?

Ax(BxC)=(AxB)xC, AxA=A, x={v, &}

8 Отрицание высказывания. Снятие двойного отрицания. Правила де Моргана.

A, ¬A, ¬(¬A)=A, ¬(AvB)=(¬A)&(¬B), ¬(A&B)=(¬A)v(¬B)

9 Равносильные формулы. Формулы поглощения и расщепления.

Две ф-лы равносильны, если их таблицы ист-ти совпадают.

Расщепление: A=(AvB)&(Av¬B), A=(A&B)v(A&¬B)

Поглощение: Av(A&B)=A, A&(AvB)=A, Av(¬A&B)=AvB, A&(¬AvB)=A&B

10 Тавтология и противоречие. Свойства констант.

Формула является тавтологией, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных.

Формула является противоречием, если она ложна при любых значениях входящих в неё переменных.

AvИ=И, AvЛ=A, Av¬A=И, A&¬A=Л, A&И=A, A&Л=Л

11 Двойственная формула. Принцип двойственности.

Ф* двойственная к Ф, если в Ф все & заменены на v, а все v заменены на &.

Принцип двойственности: A и B равнос. ТиТТ, когда A* равнос. B* (A=B <=> A*=B*).

12 Проблема разрешимости в логике высказываний. Определение КНФ. Как проверить, что формула является тавтологией с помощью КНФ?

Проблема: ответ на вопрос, существует ли алгоритм, позволяющий за конечное число шагов определить, является ли формула тавтологией.

КНФ – конъюнкция конечного числа элем. дизъюнкций. Ф – тавтология ТиТТ, когда КНФ формулы Ф в каждой элем. дизъюнкции содержится переменная и её отрицание.

13 Проблема разрешимости в логике высказываний. Определение ДНФ. Как проверить, что формула является противоречием с помощью ДНФ?

ДНФ – дизъюнкция конечного числа элем. конъюнкций. Ф – противоречие ТиТТ, когда ДНФ формулы Ф в каждой элем. конъюнкции содержится переменная и её отрицание.

14 Определение аксиоматической теории.

Задан алфавит символов, формулы над алфавитом. Из мн-ва всех ф-л выделено мн-во ф-л, которое называется аксиомами ФАТ. Заданы правила вывода новых ф-л в ФАТ.

15 Определение вывода формулы.

Выводом формулы Ф из формул A₁…A_n называется последовательность формул Ф₁…Ф_m, такая, что Ф_m=Ф, а любая Ф_i есть либо аксиома, либо одна из исходных формул Ф₁…Ф_i-1 по одному из правил вывода.

16 Правила подстановки и m.p.

Подстановка: Пусть Ф₁ – выводимая формула, содержащая А. Тогда, заменив в ней А всюду на произвольную формулу Ф₂, мы также получим выводимую формулу.

Modus Ponens: Если Ф₁ и Ф₁→Ф₂ – выводимые формулы, то Ф₂ – так же выводимая формула.

17 Теорема дедукции.

Пусть Г – список гипотез, тогда: Г, A ├ B <=> Г ├ A→B.

18 Правила силлогизма и разъединения посылок.

Силлогизм: A→B, B→C├ A→C

Разъединение посылок: A&B→C ├ A→(B→C).

19 Правила перестановки и соединения посылок.

Перестановка: A→(B→C) ├ B→(A→C)

Соединение посылок: A→(B→C) ├ A&B→C.

20 Полнота и непротиворечивость аксиоматической теории.

Акс. теория является полной, если любая формула, выражающая логический закон, является теоремой данной теории.

Акс. теория является непротиворечивой, если не существует такой формулы A, что A и ¬A одновременно теоремы.

21 Определение предиката. Предметное множество и предметные переменные.

Предикат – предложение, которое содержит предметные переменные.

Предметные переменные – переменные, которые могут принимать значения элементов некоторого предметного множества.

22 Операции над предикатами. Связывание кванторами.

1 Подстановка константы вместо предметной переменной.

2 Операции логики высказываний (¬, v, &, ~, →).

3 Навешивание кванторов.

∀ - квантор всеобщности

∃ - квантор существования

23 Интерпретация формулы. Равносильность формул в данной интерпретации.

Интерпретация задана, если заданы предметные множества для всех предметных переменных и каждому предметному символу поставлено в соответствие конкретный определённый предикат.

Две формулы равносильны в данной интерпретации, если на любом наборе свободных и высказывательных переменных они принимают одинаковые значения.

24 Равносильность формул на множестве и в логике предикатов. Примеры.

Две формулы равносильны на множестве, если они равносильны во всех интерпретациях, заданных на множестве.

25 Перенос квантора через отрицание.

¬(∀xP(x)) = ∃x ¬(P(x))

¬(∃xP(x)) = ∀x ¬(P(x))

26 Правила вынесения квантора за скобки.

∀xA(x) & ∀xB(x) = ∀x (A(x) & B(x))

∃xA(x) v ∀xB(x) = ∃x (A(x) v B(x))

27 Приведенная и нормальная формы формул.

Приведённая – формула, содержащая ¬, v, & и ¬ стоит только над предикатами.

Нормальная – приведённая форма либо не содержащая кванторов, либо все кванторы впереди формулы.

28 Правило резолюций.

29 Алгоритм метода резолюций в логике высказываний.

1. Записывается P₁, P₂, …, P_n ├ D в виде P₁, P₂, …, P_n, ¬D ├ Л

2. Записывается P_i и D в клаузуальной форме, затем везде заменяем «&» на «,»

3. Составляется список гипотез из элементарных дизъюнкций D₁, D₂, …, D_n ├ Л