19. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения – уравнения, связывающие независимую переменную искомой функции и её производную.

Решением дифференциального уравнения является функция.

Обыкновенные дифференциальные уравнения – уравнения в которых только один независимый аргумент.

Порядок диф-ого уравнения наз-ся наивысший порядок в уравнение.

Процесс отыскания решения диф-ого уравнения наз-ся его интегрированием.

20. Закон радиоактивного распада.

Время распада радиоактивного вещества прямопропорционально массе.

, k>0 -зависит от формулы радиоактивного вещества.

Период полураспада:

21. Общий интеграл. Общее решение. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения.

Общим решением ДУ называется функция , которое обращает ДУ в тождество при всяком фиксированном С.

Если общее решение найдено в неявном виде , то тогда такое решение называется общим интегралом ДУ.

Определение задачи Коши. Задачей Коши называется задача, в которой для дифференциального уравнения заданы только начальные условия (t=0, y(0)=0, y'(0)=y'₀ и т.д.) и не накладывается никаких граничных условий, (т.е. граница отсутствует).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: Если функция и её частная производная - определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, то какова бы ни была внутренняя т. , в некоторой окрестности это точки существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию при

Геометрически: через каждую точку внутри области G проходит единственная интегральная кривая.

Важно также понимать, что теорема содержит только достаточные условия существования и единственности решения — при нарушении условий теоремы задача Коши может иметь или не иметь решений, может иметь несколько решений.

22. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида

Для нахождения общего решения нужно разделить переменные, то есть привести уравнение к виду

и проинтегрировать это равенство:

 

23. Метод вариации произвольной постоянной.

Метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа - метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

Пусть найдено общее решение . Функции образуют фундаментальную систему решений. Будем искать частное решение уравнения в виде , где — пока не известные функции. Для их определения составим систему уравнений. Имеем .

Пусть = 0, тогда . Подставим в уравнение, после чего мы можем сгруппирировать слагаемые содержащие и

Выражения в круглых скобках равны нулю, так как — решения однородного уравнения. Поэтому для определения получаем систему Система имеет единственное решение, так как ее определитель. Интегрируя полученные и найдем и т.е. частное решение .