6. Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры (разложение в ряд Тейлора элементарных функций).

Для любой Функции , определенной в окрестности т. и имеющей производные по порядка включительно, справедливо

, где , , ,

Если , то формула называется Маклорена.

Ряд Тейлора

7. Метрическое пространство. Фундаментальная последовательность. Полное метрическое пространство.

Метрическим пространством называется множество X, для элементов которого определено расстояние между ними.

Расстояние между элементами множества - однозначная, действительная, неотрицательная функция.

Последовательность - называется фундаментальной, если при и .

Если в пространстве X всякая фундаментальная последовательность сходиться, то это пространство называется полным. Примеры: - Чебышева.

8. Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Нормированное пространство. Банаховы пространства.

Непустое множество элементов x, y, z называется линейным пространством , если для каждой пары x, y однозначно определено. . При этом должны выполняться аксиомы:

• Коммутативность.

• Ассоциативность.

• Существование элемента 0.

• Для каждого x существует (-x)

• Для любого и .

Линейное пространство, в котором задана норма, называется нормированным.

Нормой в пространстве называется функционал удовлетворяющей следующим аксиомам:

• 

• 

• 

Всякое нормированное пространство становится метрическим, если в нем ввести расстояние

Полное нормированное пространство называется Банаховым пространством.

9. Ряды Фурье. Разложение функции по произвольной ортогональной системе функций.

Введем скалярное произведение в пространстве Ф:

Норма в пространстве:

Расстояние между и :

Последовательность функций , ,… называется ортогональной, где , если .

1, , , , … ортогональны на

Пусть функция на представляется интегралом.

- сходиться на , а семейство - образуют ортогональных функций.

Ряд называется Фурье для совокупности ортогональных функций.

10. Тригонометрические ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Тригонометрический ряд Фурье:

Для четных функций:

Для нечетных функций:

11. Комплексные числа и действия над ними.

Комплексные числа - расширение множества вещественных чисел, обозначаются через C. Любое комплексное число может быть представлено в виде , где x и y – вещественные числа, а I – мнимая единица i = -1. . Если действительная часть равно 0, то число чисто мнимое.

Геометрическое отображение комплексного числа:

,

,

.

Формы представления комплексных чисел:

1. Алгебраическая: . Значение аргумента комплексного числа на интервале называется главным значением.

2. Тригонометрическая: .

Операции над комплексными числами:

1. Сложение – складываются соответственно действительные и мнимые части комплексных чисел .

2. Разность – вычитаются .

3. Произведение - умножаются ,

4. Деление – делятся , где , .

Произведение комплексных чисел в показательной и тригонометрической форме осуществляется по принципу: модули перемножаются, а аргументы складываются .