24. Распределения , Стьюдента (Госсета), Фишера. Их характеристики и свойства.

_{Распределение .}

_{Рассмотрим гамма распределение (описывает времена безотказной работы различных технических устройств) с плотностью , где – гамма-функция Эйлера.}

_{Если , где – нечётное число, а , то гамма-распределение превращается в распределение (хи-квадрат). Параметр называют в этом случае числом степеней свободы распределения .}

_{Распределение Стьюдента (Госсета).}

_{Распределением Стьюдента ( ) называют распределение с плотностью .}

_{Распределение Фишера (Снедекора).}

_{Пусть независимые случайные величины и имеют распределение с и степенями свободы соответственно. Распределением Фишера ( ) называется распределение случайной величины , плотность которого выражается следующей формулой: .}

№27. Случайная выборка и генеральная совокупность. Закон распределения выборки.

_{Математическая статистика – раздел прикладной математики, посвящённый методам систематизации и анализа статистических данных с целью построения вероятностной модели случайных явлений, а также уточнения их параметров.}

_{Сопоставляя задачи теории вероятностей и математической статистики, можно говорить о том, что задачи математической статистики являются теоретически обработанными выводами теории вероятностей. В задачах теории вероятностей, как правило, вероятностная модель дана, и необходимо по одним её параметрам получить другие. В задачах математической статистики неизвестна либо вся вероятностная модель, либо её параметры, и необходимо, основываясь на статистических данных, получить неизвестные части вероятностной модели или вынести определённые суждения о них.}

_{Таким образом исходными для задач математической статистики являются статистические данные, которые как правило имеют численную природу. Статистические данные получаются в результате статистического эксперимента, заключающегося в измерении значения некоторой случайной величины. Результаты измерений записываются последовательно.}

_{– выборка объёма , – элементы выборки. – многомерная случайная величина, т.к. результат измерения заранее предсказать нельзя. В результате конкретного измерения получается реализация выборки , где – выборочные значения.}

_{Необходимым условием решения задач математической статистики является условие репрезентативности, т.е. выборка должна отражать закон распределения случайной величины.}

_{– генеральная совокупность (множество всех возможных выборочных значений). Выборка взята из генеральной совокупности , если она получена из измерения случайной величины .}

_{– закон распределения выборки. В случае независимости измерений .}

_{Если выборка репрезентативна, то каждый её элемент имеет то же распределение, что и наблюдаемая случайная величина: .}

_{По умолчанию считаем измерения независимыми.}

№28. Оценка вероятности события. Оценка функции распределения. Оценка плотности вероятностей.

_{Оценка вероятности события.}

_{Пусть – случайное событие. Необходимо построить оценку вероятности .}

_{, тогда .}

_{– оценка, – значение оценки.}

_{Оценка функции распределения.}

_{Дана выборка из . Необходимо оценить .}

_{Сначала функция распределения представляется в виде . Т.о. задачу можно свести к оценке вероятности события:}

_{, тогда – оценка функции распределения, – эмпирическая функция распределения.}

_{1. Если все выборочные значения различны, то функцию можно записать в следующем виде: , т.е. в каждой точке функция имеет скачок величиной . На рисунке изображён график функции :}

_{2. Группированная выборка. – непрерывная случайная величина, – достаточно большое число. Разобьём множество значений на интервалы , получим группированную выборку:}

Номер интервала
Сам интервал
Количество знач.

_{; .}

_{Оценка плотности вероятностей.}

_{, , а с другой стороны – формула конечных приращений Лагранжа.}

_{, .}

_{, где , – длина отрезка.}

_{– оценка плотности распределения.}

_{График плотности распределения (гистограмма) изображён на рисунке:}