№20. Ряд распределения функции дискретной случайной величины.

_{Рассмотрим на вероятностном пространстве двумерный случайный вектор и числовую функцию числовых аргументов и .}

_{Случайную величину называют функцией (скалярной) от двумерной случайной величины (двумерного случайного вектора) . Функция от двумерной дискретной случайной величины является дискретной случайной величиной, принимающей значения с вероятностью , где и – значения случайных величин и соответственно.}

_{Чтобы построить ряд распределения дискретной случайной величины , необходимо, во-первых, не учитывать все те значения , вероятность принять которые случайной величине равна нулю, а во-вторых, объединить в один столбец все одинаковые значения случайной величины , приписав этому столбцу суммарную вероятность.}

_{Пример: Пусть – случайная величина, равная суммарному числу успехов в двух испытаниях по схеме Бернулли, а – число успехов в испытании, . Тогда и . Заметим, что двум средним столбцам соответствует одно и то же значение 1 случайной величины , и их следует объединить. Окончательно получаем ряд распределения случайной величины , представленный в следующей таблице:}

№21. Плотность вероятности функции случайной величины при заданной плотности вероятности аргумента. Закон распределения суммы случайных величин. Пример.

_{Пусть – двумерная непрерывная случайная величина с плотностью распределения . Функцию распределения случайной величины можно найти по формуле: (1), где область интегрирования состоит из всех значений и , для которых .}

_{– плотность распределения функции .}

_{Пусть , где и – независимые случайные величины, тогда по формуле (1) находим: .}

_{Дифференцируя последнюю формулу по под знаком интеграла, получаем (с учётом переобозначения ) выражение для плотности распределения суммы и : (2). В этом случае говорят, что плотность распределения случайной величины является свёрткой (композицией) плотностей распределения и слагаемых и или что закон распределения суммы двух независимых случайных величин является свёрткой (композицией) законов распределения слагаемых. Соотношение (2) условно записывают в виде .}

_{Формулу (2) называют формулой свёртки для плотностей распределения случайных величин и .}

_{Пример: Пусть и – независимые случайные величины, распределённые по нормальному закону со средними значениями и и средними квадратичными отклонениями и . Найдём плотность распределения суммы .}

_{Воспользовавшись формулой свёртки, имеем: .}

_{Делая теперь замену , получаем: .}

_{Таким образом, случайная величина также распределена по нормальному закону с параметрами и , т.е. композиция плотностей нормальных законов распределения является плотностью нормального закона распределения.}

_{№22. Характеристическая функция и её свойства.}

_{Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание случайной величины : . Если есть функция распределения величины , то характеристическая функция равна: .}

_{Свойства:}

1. _{Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей прямой и удовлетворяет следующим соотношениям: ;}

2. _{Если , где и – постоянные, то .}

3. _{Характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций.}

_{№23. Характеристическая функция и моменты случайной величины.}

_{Характеристическая функция.}

_{Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание случайной величины : . Если есть функция распределения величины , то характеристическая функция равна: .}

_{Моменты случайной величины.}

_{Начальным моментом порядка системы называется величина .}

_{Центральным моментом порядка системы называется величина , где .}

_{Расчётные формулы для определения моментов:}

_{а) Для дискретных случайных величин.}

_{б) Для непрерывных случайных величин.}

_,

_{, где – плотность распределения системы.}

_{Корреляционным моментом двух случайных величин называется центральный момент порядка , т.е. (второй смешанный центральный момент): .}