
- •№1. Случайные события. Классификация. Действия над событиями.
- •№2. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы Колмогорова. Следствия.
- •№3. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности как частный случай аксиоматического.
- •№4. Теорема сложения. Следствия.
- •Теорема доказана.
- •№7. Формула полной вероятности и формула Байеса. Примеры.
- •№8. Схема независимых испытаний Бернулли. Теорема Пуассона. Предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •№9. Случайная величина. Функция распределения случайной величины и её свойства.
- •№12. Математическое ожидание случайной величины и функции случайной величины. Свойства.
- •№14. Основные законы распределения: нормальный, равномерный, биномиальный, показательный, Пуассона.
- •№15. Векторный случайные величины, совместная плотность, многомерная вероятность, многомерный ряд распределения.
- •№16. Нормальный случайный вектор.
- •№17. Условные вероятности и плотности вероятностей. Независимость случайных величин.
- •№20. Ряд распределения функции дискретной случайной величины.
- •№21. Плотность вероятности функции случайной величины при заданной плотности вероятности аргумента. Закон распределения суммы случайных величин. Пример.
- •24. Распределения , Стьюдента (Госсета), Фишера. Их характеристики и свойства.
- •№27. Случайная выборка и генеральная совокупность. Закон распределения выборки.
- •№28. Оценка вероятности события. Оценка функции распределения. Оценка плотности вероятностей.
- •№29. Выборочные моменты. Несмещённость выборочного среднего как оценки математического ожидания. Смещённость выборочной дисперсии как оценки теоретической дисперсии.
- •№30. Точечные оценки и их свойства.
- •№31. Функция правдоподобия. Неравенство Рао-Крамера. Критерий эффективности Рао-Крамера.
- •№37. Критерий согласия . Пример.
№15. Векторный случайные величины, совместная плотность, многомерная вероятность, многомерный ряд распределения.
– многомерная случайная величина
(упорядоченная совокупность случайных
величин). Пример – абсцисса и ордината
при случайном попадании (двумерная
случайная величина).
– функция распределения (совместная,
функция распределения),
– многомерная вероятность.
Рассмотрим свойства двумерной функции распределения:
;
– неубывающая функция по каждому из аргументов и ;
;
;
;
– непрерывная слева в любой точке
по каждому из аргументов и функция;
.
Совместная плотность распределения.
Непрерывной
двумерной случайной величиной
называют такую двумерную случайную
величину
,
совместную функцию распределения
которой можно представить в виде
сходящегося несобственного интеграла:
.
Функцию
называют совместной двумерной плотностью
распределения случайных величин
и
,
или плотностью распределения случайного
вектора
.
Представление в виде повторного
интеграла:
.
Свойства двумерной плотности распределения:
;
;
– условие нормировки;
;
;
;
;
.
Многомерный ряд распределения.
Двумерную
случайную величину
называют дискретной, если каждая из
случайных величин
и
является дискретной.
Для
простоты ограничимся конечным множеством
возможных значений, когда случайная
величина
может принимать только значения
,
– значения
,
а координаты двумерного случайного
вектора
– пары значений
.
Такое перечисление удобно представлять
в виде таблицы. В этой таблице в верхней
строке перечислены все возможные
значения
случайной величины
,
а в левом столбце – значения
случайной величины
.
На пересечении столбца «
»
со строкой «
»
находится вероятность
.
В этой таблице обычно добавляют ещё
одну строку «
»
и столбец «
».
На пересечении столбца
со строкой «
»
записывают число
.
Но
представляет собой не что иное, как
вероятность того, что случайная величина
примет значение
,
т.е.
.
Таким образом, первый и последний столбцы
таблицы дают нам ряд распределения
случайной величины
.
Аналогично, в последней строке «
»
помещены значения
,
а первая и последняя строки дают ряд
распределения случайной величины
.
Для контроля правильности составления
таблицы рекомендуется просуммировать
элементы последней строки и последнего
столбца. Если хотя бы одна из этих сумм
не будет равна единице, то при составлении
таблицы была допущена ошибка.
Используя
данную таблицу, нетрудно определить
совместную функцию распределения
.
Ясно, что для этого необходимо
просуммировать
по всем тем
и
,
для которых
,
т.е.
.
№16. Нормальный случайный вектор.
Введём
двумерное нормальное распределение
случайного вектора
.
Пусть
координаты
и
случайного вектора
являются случайными величинами,
распределёнными по нормальному закону,
т.е. имеют плотности распределения
и
.
Если
и
являются независимыми случайными
величинами, то
,
и в этом случае плотность распределения
двумерного нормального распределения
имеет вид
.
В общем случае вектор
имеет (невырожденное) двумерное нормальное
распределение, если его плотность
распределения определяется формулой
,
где функция двух переменных
есть положительно определённая
квадратичная форма (т.е.
для любых
).
Двумерное нормальное распределение зависит от пяти параметров:
– координат
и
вектора
,
называемого вектором математических
ожиданий вектора
;
–
координат
и
вектора
,
называемого вектором средних квадратических
отклонений вектора
;
–
числа
,
называемого коэффициентом корреляции
случайных величин
и
.