№3. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности как частный случай аксиоматического.

Классическое определение вероятности.

Пусть всего элементарных исходов, – число исходов, благоприятствующих событию . Тогда – вероятность.

1. – число сочетаний. Если опыт состоит в выборе элементов из без упорядочения и без возвращения, то общее число элементарных исходов в опыте будет равно количеству различных комбинаций, отличных друг от друга, по крайней мере, одним составом элементов.

2. – число размещений без повторений. Если опыт состоит в выборе элементов из без возвращения, но с упорядочением элементов по мере их поступления, то количество элементарных исходов равно числу комбинаций, отличных друг от друга либо порядком следования элементов, либо их составом (но один и тот же элемент встречается в группе не более одного раза).

3. – число размещений с повторениями. Если опыт состоит в выборе элементов из с возвращением и упорядочением элементов по мере их поступления, то общее число исходов опыта равно количеству комбинаций, отличающихся друг от друга составом элементов, либо порядком их следования (при этом один и тот же элемент может повторяться несколько раз).

Геометрическое определение вероятности.

Если множество элементарных исходов может быть представлено некоторой областью , а множество благоприятствующих событию исходов – подобластью , то .

Статистическое определение вероятности.

Рассмотрим опыт, в котором событие может появиться, а может и не появиться, и проведём этот опыт раз. Пусть раз событие произошло, тогда .

– сходимость по вероятности.

Вероятностью события называют (эмпирический) предел , к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа опытов.

№4. Теорема сложения. Следствия.

Теорема: . Для событий: .

Доказательство: пусть всего исходов.

Теорема доказана.

Следствие 1: если и несовместны, то .

Следствие 2:

Доказательство:

№5. Условная вероятность и её свойства. Теорема умножения вероятностей.

Говорят, что событие зависит от события , если его вероятность меняется, когда происходит событие .

Условная вероятность – это вероятность события , подсчитанная при условии, что произошло. ( – от при условии )

Если события и независимы, то .

Теорема:

Для событий: .

Доказательство: пусть всего исходов. благоприятствуют исходов, благоприятствуют исходов, – исходов. Пусть произошло, осталось исходов, из них благоприятствуют .

. Теорема доказана.

Следствие 1: если не зависит от , то .

Следствие 2: если зависит от , то зависит от .

№6. Независимость событий и независимость испытаний.

События и называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий

.

_{Свойство независимости событий взаимно, то есть если} зависит от , то зависит от _.

_{События и , имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда .}

_{События называются независимыми в совокупности, если для любого события из их числа и произвольных из их же числа события взаимно независимы. В силу теоремы умножения, это определение эквивалентно следующему: при любых и . Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости.}

_{Рассмотрим опыт, состоящий в проведении двух испытаний. Эти испытания называются независимыми, если любые два события и , из которых определяется по исходу первого испытания, а – по исходу второго, являются независимыми.}