1. Определитель матрицы

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, ДЕТЕРМИНАНТ [determinant] — число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозначение (для матрицы A): det A. Напр., определитель (второго порядка) матрицы

det A = a11a22 — a12a21.

Свойства определителей:

Определитель , имеющий строку, представленной суммой двух строк, равносилен сумме определителей

Определитель , имеющий нулевую строку, равен нулю

Определитель , имеющий две пропорцинальных строки , равен нулю

Определитель единичной матрицы равен единице

Опредилетель транспонированной матрицы равен определителю не транспонированной матрицы

Определитель не изменится, если из строки вынести множитель

Определитель не изменится, если одну из его строк домножить на число и добавить к другой cтроке

При перестановке двух строк определителя, определитель меняет знак

Все свойства сформулированые для строк, верны и для столбцов.

2. Определители. Способы их вычисления.

С пособ 1 (Разложение по i-ой строке Суть данного метода в следующем :

Поочередно берутся элементы выбранной строки.

Затем из определителя вычеркиваются (мысленно) выбранная строка и столбец , выбранного элемента

Вычисляется определитель, уже меньшего порядка

Полученное число домножается на выбранный элемент и коэфициент

Далее все полученные значения суммируются.

Способ 2 (Разложение по j-ому стролбцу)

Аналогичен способу 1, в силу свойства 5 .

Транспонируем матрицу

Находим ее определитель , раскладывая по j строке

Способ 3 (Привидение к треугольному виду)

Самый удобный и быстрый способ.

План действий :

Рассматриваем первый столбец, перестановкой строк и столбцов матрицы (если есть необходимость) добиваемся того чтобы элемент , стоящий в первой строке и первом столбце матрицы, был не нулевым.

Домножая первую строку на соответствующие коэфициенты, зануляем все элементы первого столбца, стоящие ниже первой строки.

Рассматриваем второй столбец, перестановкой строк и столбцов матрицы , кроме первого столбца и первой строки, добиваемся того чтобы элемент, стоящий во второй строке второго столбца, был не нулевым.

Домножая вторую строку на соответствующие коэфициенты, зануляем все элементы второго столбца стоящие, ниже второй строки.

Далее продолжаем эти действия до (n-1)-го столбца, не перемещая столбцы и строки предыдущих шагов.

Примечание : при перестановке строк и столбцов следует менять знак опеределителя.

Если на некотором К-ом шаге не удается получить не нулевое значение элемента, стоящего в К-ой строке и К-ом столбце, то ситуция выглядит следующим образом

иначе говоря, определитель такой матрицы равен 0.

Если подобной проблемы не возникло, то матрица имеет вид

и ее определитель равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.

3. Минор матрицы, алгебраическое дополнение, транспонированная матрица и ее свойства.

Минор матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Например, есть матрица:

Предположим, надо найти дополнительный минор М₂₃. Этот минор — определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:

 Получаем М₂₃ = 13

Алгебраическое дополнение:

А лгебраическим дополнением элемента матрицы называется число а_ij матрицы А называется число

Транспонированная матрица — матрица AT, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Свойства транспонированной матрицы:

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц. Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц

При транспонировании можно выносить скаляр

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.