Линейные операции:
Сложение: сумма двух векторов – третий вектор, направленный из начала первого вектора в конец второго.
Умножение вектора на число – вектор, параллельный первому вектору, модуль его равен модулю, умноженному на число и если число отрицательное, то меняется направление вектора.
18
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны.
Векторы коллинеарны, если существует прямая которой они параллельны.
Лемма: если вектор b коллинеарен ненулевому вектору a, то
Если вектор b компланарен с некоторыми векторами a1,a2, то существует единственное разложение в виде линейной комбинации векторов a1,a2
Доказательство: существование:
Рассмотрим OP и OQ, по правилу параллелограмму, // , по лемме . Аналогично, .
Единственность: предположим, что
Тогда , . Т.к. разложение различное, то одна из скобок отлична от нуля. Пусть это будет первая скобка, разделим на неё, получим:
, что противоречит условию. Доказано.
Если a1,a2,a3 – некомпланарные вектора, то для любого разложение в виде линейной комбинации векторов a1,a2,a3, т.е. . Доказательство: Во многом похоже на предыдущее.
19
Базис на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов.
Базис в пространстве – упорядоченная тройка неколлинеарных векторов.
Орт – единичный вектор.
Совокупность т.O и ортонормированного базиса i,j,k, приложенного к т.O, называют прямоугольным(декартовым) системой координат, т.O – начало координат, а базисные векторы задают направления осей.
Деление отрезка в заданном отношении:
- известно.
, .
20
Проекция вектора a равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и направляющим вектором.
прea= .
Доказательство: возможны три случая:
Угол острый:
п рL , из треугольника ABB1:
Угол прямой:
прL
Угол тупой:
п рL
21
Скалярным произведением вектора a на вектор b называется число(скаляр)
Свойства скалярного произведения:
1. ( )≥0. Доказательство: ( ) = * *Cos0 = 2≥0. Доказано.
2. ( ) = ( ). Доказательство: очевидно.
3. (a,b+c)=(a,b)+(a,c). Доказательство: воспользуемся связью между проекциями: (a,b+c)=|a|*прa(b+c)=|a|*(прab+прac)=|a|*прab+|a|*прac=(a,b)+(a,c).
4. Доказательство: воспользуемся связью между проекциями: .
22
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c =
Свойства векторного произведения:
[a,a] = 0.
[a,b]=-[b,a].
[(a+b),c]=[a,b]+[a,c].
[a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b).
23
Смешанное произведение – скалярное произведение вектора a на векторное произведение вектора b на вектор c. .
Свойства смешанного произведения:
Если 3 вектора коллинеарные (т.е. лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно 0.
24
Прямая на плоскости:
Общее уравнение: Ax+By+C=0, координаты вектора нормали (A,B).
Уравнение прямой в отрезках: .
Нормальное уравнение прямой: , где - угол между прямой и осью икс, - расстояние от начала координат.
Каноническое уравнение прямой:
Уравнение прямой через две точки:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту: или y = kx + b.
Параметрическое уравнение прямой:
25
Взаимное расположение прямых:
Лежат на одной прямой, если .
Параллельны, если
Пересекаются, если .
Угол между прямыми фактически равен углу между нормалями прямых: , .
Условия перпендикулярности: прямые перпендикуляры, если перпендикулярны их нормали, т.е. если
Расстояние от точки до прямой на плоскости:
26
Плоскость в пространстве:
Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, координаты нормали (A,B,C).
Уравнение плоскости в отрезках: .
Каноническое уравнение плоскости:
Уравнение плоскости через две точки:
Параметрическое уравнение плоскости:
27
Взаимное расположение плоскостей:
Лежат в одной плоскости, если .
Параллельны, если
Пересекаются, если
Угол между плоскостями: фактически равен углу между нормалями плоскостей:
Условия перпендикулярности: плоскости перпендикуляры, если перпендикулярны их нормали, т.е. если
Расстояние от точки до плоскости в пространстве:
28
Прямая в пространстве:
Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, координаты нормали (A,B,C).
Уравнение прямой в отрезках: .
Каноническое уравнение прямой:
Уравнение прямой через две точки:
Параметрическое уравнение прямой:
29
Расстояние от точки до прямой в пространстве:
Расстояние между скрещивающимися прямыми:
Угол между прямыми в плоскости фактически равен углу между направленными векторами:
Угол между прямой и плоскостью:
30
Линейное векторное пространство – это непустое множество L элементов, в котором:
Для любых x,y определена сумма, принадлежащая этому пространству.
Для любого x и , принадлежащим этому пространству, определено , при этом накладываются следующие условия:
, для любых (коммутативность сложения);
, для любых (ассоциативность сложения);
существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).
(ассоциативность умножения на скаляр);
(унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Свойства линейного векторного пространства:
Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
для любых и .
для любого .
31
Линейная зависимость векторов линейного пространства:
Размерность линейного пространства: линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:
1) существует n линейно независимых векторов;
2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.
Базис - любая упорядоченная система e1,e2,…,en из n линейно независимых векторов пространства Vn.
32
Базис - любая упорядоченная система e1,e2,…,en из n линейно независимых векторов пространства Vn.
33
Подпространство линейного пространства – не пустое подмножество L1 его элементов, само являющееся линейным пространством относительно введенных в L операций сложения векторов и умножения на число.
Для проверки того, что подмножество L1 является подпространством множества L необходимо и достаточно убедиться, что
34
Пусть L – линейное пространство. Скажем, что в L задано скалярное произведение, если в каждой паре векторов x,y, принадлежащих этому линейному пространству, поставлено в соответствие скалярное произведение x,y принадлежащих R так, что выполняются условия:
Евклидовым линейным пространством называется пространство со скалярным произведением, удовлетворяющим условию: и равенства
Теорема Пифагора: если векторы x,y ортогональны, то квадрат нормы .
Доказательство: т.к. x┴y, то (x,y)=0, тогда Неравенство Коши-Буняковского: в любом евклидовом пространстве выполняется неравенство .
Доказательство: пусть . Тогда для вектора
Получим квадратных трехчлен относительно . Он должен быть ≥0, значит он не может иметь двух различных корней, => D ≤0 =>
Доказано.
Неравенство треугольника: в евклидовом пространстве для
Доказательство: по неравенству Коши- Буняковского . Извлечем корень, получим . Доказано.
35
Базис e1,e2,…,en евклидового пространства L называется ортонормированным, если (ei,ej)=0 при i≠j.
Линейная независимость системы попарно ортогональных ненулевых векторов: попарно ортогональные и отличные от нуля векторы линейно независимы.
Доказательство: