Линейные операции:

1. Сложение: сумма двух векторов – третий вектор, направленный из начала первого вектора в конец второго.

2. Умножение вектора на число – вектор, параллельный первому вектору, модуль его равен модулю, умноженному на число и если число отрицательное, то меняется направление вектора.

18

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны.

Векторы коллинеарны, если существует прямая которой они параллельны.

Лемма: если вектор b коллинеарен ненулевому вектору a, то

Если вектор b компланарен с некоторыми векторами a₁,a₂, то существует единственное разложение в виде линейной комбинации векторов a₁,a₂

Доказательство: существование:

Рассмотрим OP и OQ, по правилу параллелограмму, // , по лемме . Аналогично, .

Единственность: предположим, что

Тогда , . Т.к. разложение различное, то одна из скобок отлична от нуля. Пусть это будет первая скобка, разделим на неё, получим:

, что противоречит условию. Доказано.

Если a₁,a₂,a₃ – некомпланарные вектора, то для любого разложение в виде линейной комбинации векторов a₁,a₂,a_3, т.е. . Доказательство: Во многом похоже на предыдущее.

19

Базис на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базис в пространстве – упорядоченная тройка неколлинеарных векторов.

Орт – единичный вектор.

Совокупность т.O и ортонормированного базиса i,j,k, приложенного к т.O, называют прямоугольным(декартовым) системой координат, т.O – начало координат, а базисные векторы задают направления осей.

Деление отрезка в заданном отношении:

- известно.

, .

20

Проекция вектора a равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и направляющим вектором.

пр_ea= .

Доказательство: возможны три случая:

1. Угол острый:

п р_{L ,} из треугольника ABB₁:

2. Угол прямой:

пр_L

3. Угол тупой:

п р_L

21

Скалярным произведением вектора a на вектор b называется число(скаляр)

Свойства скалярного произведения:

1. ( )≥0. Доказательство: ( ) = * *Cos0 = ²≥0. Доказано.

2. ( ) = ( ). Доказательство: очевидно.

3. (a,b+c)=(a,b)+(a,c). Доказательство: воспользуемся связью между проекциями: (a,b+c)=|a|*пр_a(b+c)=|a|*(пр_ab+пр_ac)=|a|*пр_ab+|a|*пр_ac=(a,b)+(a,c).

4. Доказательство: воспользуемся связью между проекциями: .

22

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c =

Свойства векторного произведения:

1. [a,a] = 0.

2. [a,b]=-[b,a].

3. [(a+b),c]=[a,b]+[a,c].

4. [a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b).

23

Смешанное произведение – скалярное произведение вектора a на векторное произведение вектора b на вектор c. .

Свойства смешанного произведения:

1. 

2. 

3. Если 3 вектора коллинеарные (т.е. лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно 0.

24

Прямая на плоскости:

Общее уравнение: Ax+By+C=0, координаты вектора нормали (A,B).

Уравнение прямой в отрезках: .

Нормальное уравнение прямой: , где - угол между прямой и осью икс, - расстояние от начала координат.

Каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой через две точки:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту: или y = kx + b.

Параметрическое уравнение прямой:

25

Взаимное расположение прямых:

Лежат на одной прямой, если .

Параллельны, если

Пересекаются, если .

Угол между прямыми фактически равен углу между нормалями прямых: , .

Условия перпендикулярности: прямые перпендикуляры, если перпендикулярны их нормали, т.е. если

Расстояние от точки до прямой на плоскости:

26

Плоскость в пространстве:

Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, координаты нормали (A,B,C).

Уравнение плоскости в отрезках: .

Каноническое уравнение плоскости:

Уравнение плоскости через две точки:

Параметрическое уравнение плоскости:

27

Взаимное расположение плоскостей:

Лежат в одной плоскости, если .

Параллельны, если

Пересекаются, если

Угол между плоскостями: фактически равен углу между нормалями плоскостей:

Условия перпендикулярности: плоскости перпендикуляры, если перпендикулярны их нормали, т.е. если

Расстояние от точки до плоскости в пространстве:

28

Прямая в пространстве:

Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, координаты нормали (A,B,C).

Уравнение прямой в отрезках: .

Каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой через две точки:

Параметрическое уравнение прямой:

29

Расстояние от точки до прямой в пространстве:

Расстояние между скрещивающимися прямыми:

Угол между прямыми в плоскости фактически равен углу между направленными векторами:

Угол между прямой и плоскостью:

30

Линейное векторное пространство – это непустое множество L элементов, в котором:

1. Для любых x,y определена сумма, принадлежащая этому пространству.

2. Для любого x и , принадлежащим этому пространству, определено , при этом накладываются следующие условия:

1. , для любых   (коммутативность сложения);

2. , для любых   (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент  , что   для любого   (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4. для любого   существует такой элемент  , что   (существование противоположного элемента относительно сложения).

5.  (ассоциативность умножения на скаляр);

6.  (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7.  (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Свойства линейного векторного пространства:

1. Нейтральный элемент   является единственным, что вытекает из групповых свойств.

2.  для любого  .

3. Для любого   противоположный элемент   является единственным, что вытекает из групповых свойств.

4.  для любого  .

5.  для любых   и  .

6.  для любого  .

31

Линейная зависимость векторов линейного пространства:

Размерность линейного пространства: линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:

     1) существует n линейно независимых векторов;

     2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Базис - любая упорядоченная система e₁,e₂,…,e_n из n линейно независимых векторов пространства V_n.

32

Базис - любая упорядоченная система e₁,e₂,…,e_n из n линейно независимых векторов пространства V_n.

33

Подпространство линейного пространства – не пустое подмножество L₁ его элементов, само являющееся линейным пространством относительно введенных в L операций сложения векторов и умножения на число.

Для проверки того, что подмножество L₁ является подпространством множества L необходимо и достаточно убедиться, что

34

Пусть L – линейное пространство. Скажем, что в L задано скалярное произведение, если в каждой паре векторов x,y, принадлежащих этому линейному пространству, поставлено в соответствие скалярное произведение x,y принадлежащих R так, что выполняются условия:

Евклидовым линейным пространством называется пространство со скалярным произведением, удовлетворяющим условию: и равенства

Теорема Пифагора: если векторы x,y ортогональны, то квадрат нормы .

Доказательство: т.к. x┴y, то (x,y)=0, тогда Неравенство Коши-Буняковского: в любом евклидовом пространстве выполняется неравенство .

Доказательство: пусть . Тогда для вектора

Получим квадратных трехчлен относительно . Он должен быть ≥0, значит он не может иметь двух различных корней, => D ≤0 =>

Доказано.

Неравенство треугольника: в евклидовом пространстве для

Доказательство: по неравенству Коши- Буняковского . Извлечем корень, получим . Доказано.

35

Базис e₁,e₂,…,e_n евклидового пространства L называется ортонормированным, если (e_i,e_j)=0 при i≠j.

Линейная независимость системы попарно ортогональных ненулевых векторов: попарно ортогональные и отличные от нуля векторы линейно независимы.

Доказательство: