Разложение определителя:

Минором M_ij называется a_ij определителя n-ого порядка называется определитель n^-1 порядка, полученного из исходного определителя путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j.

по элементам i-й строки:

по элементам j-го столбца:

8

Обратная матрица – такая матрица, которая при умножении на саму матрицу дает единичную матрицу (A * A^-1 = E).

Единственность – если матрица не вырождена (т.е. определитель не равен нулю), то для неё существует одна обратная матрица.

Доказательство: Пусть матрицы B и C - обратные матрицы для A. Тогда:

BAC = (BA)C = EC = C

BAC = B(AC) = BE = B => B = C. Доказано.

Критерий обратимости – чтобы матрица была обратима, необходимо и достаточно, чтобы она была не вырождена.

Доказательство: необходимость: матрица А обратима, т.е. существует A^-1 такая, что A * A^-1 = A^-1 * А = Е. Надо доказать, что det A ≠ 0. Рассмотрим det(A * A^-1) = det(A^-1 * А) = det E = 1. det A * det A^-1 = 1 det A ≠ 0, det A^-1 ≠ 0.

Достаточность: Пусть А не вырождена, т.е. det A ≠ 0. Рассмотрим Докажем, что матрица В есть обратная матрица А, т.е. А * В = В * А = Е.

9

Обратная матрица – такая матрица, которая при умножении на саму матрицу дает единичную матрицу (A * A^-1 = E).

Некоторые свойства обратной матрицы:

1. E^-1 = E, т.к. E * E = E

2. det(A^-1) =

3. (A^-1)^-1=A, т.к. A^-1*А= А* A^-1=E.

4. (A^T)^-1=(A^-1)^T, т.к. (A^-1)^T*A^T= (A*A^-1)^T=E^T=E;

A^T*(A^-1)^T=(A*A^-1)^T=E.

5. (A*B)^-1=B^-1*A^-1,т.к. (B^-1*A^-1)*AB= B^-1*A^-1*A*B=B^-1*E*B=E;

AB*(B^-1*A^-1)= A*B * B^-1*A^-1 =A^-1*E*A=E.

Вычисление с помощью элементарных преобразований:

1. Если определитель исходной матрицы не равен нулю, то

2. Вычисляем алгебраические дополнения A_ij.

3. Составляем присоединенную матрицу C =

4. Находим = C^T

5. A^-1=1/detA*

Если определитель исходной матрицы равен нулю, то обратной матрицы нет.

10

Рангом матрицы А называют наивысший порядок, отличный от нуля минора этой матрицы (лекции).

Ранг матрицы А равен k, если среди миноров этой матрицы есть по крайней мере один отличный от нуля минор k-ого порядка, а все её миноры порядка k+1 и выше либо равны 0, либо не существуют.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу её строк.

Доказательство:

Рассмотрим матрицу А:

Составим минор порядка m, выбрав столбцы, нулевые элементы которых стоят внутри ступенек. Получим минор M размера mxm:

• r(A) = m, т.е. числу ступенек.

При элементарных преобразованиях над строками/столбцами матрицы её ранг не изменяется.

Доказательство: рассмотрим каждое элементарное преобразование в отдельности. При умножении любой строки на число, не равное нулю, миноры этой матрицы не изменяются и очевидно, что наивысший порядок в минорах не изменится. При перестановке 2х строк местами изменившиеся миноры поменяют знак. При умножении одной строки на любое число и добавления её к другой строке:

Пусть ранг А = k, покажем, что ранг B k. Для этого достаточно показать, что каждый минор матрицы В порядка выше, чем k = 0. Пусть D – минор матрицы В порядка выше, чем k. Возможны 3 различных случая:

1. Детерминант минора не содержит i-ой строки матрицы В. В этом случае D совпадает с соответствующим минором матрицы А, т.к. ранг матрицы А = k, то D = 0.

2. D содержит i и j строки: По 9 свойству детерминанта(детерминант не изменится, если к любой строке добавить другую строку, умноженную на число) определитель(минор) не изменится, т.е. равен соответствующему минору матрицы А = 0.

3. D содержит i строку и не содержит j строку. Тогда по свойству D = D₁+D₂. D₁ совпадает с минором матрицы А и равен нулю. А D₂ – то, что осталось от остальных слагаемых и равен соответствующему минору матрицы А, умноженной на и равно 0 => D = 0 => r(B) = r(A) = k. Доказано.

11

Строки матрицы А линейно зависимы, если можно подобрать такие числа k₁,k₂,…,k_n, не равные нулю одновременно, что , где 0 – нулевая строка.

Теорема о ранге матрицы: Если ранг матрицы А равен k, то в этой матрице можно найти k линейно независимых строк, через которые линейно выражаются все остальные строки.

Доказательство: пусть дана матрица А _mxn и пусть r(A) = k и пусть D – минор k-ого порядка ≠ 0. Такой минор называется базисным. Для определенности будем считать, что он расположен в левом верхнем углу. Покажем, что первые k строк матрицы А линейно независимые. Предположим противное, что одна из строк линейно выражается через остальные, т.е. . Умножим первую строку на (-c₁) и прибавим её к k-ой строке. Умножим вторую строку на (-c₂) и прибавим её к k-ой строке. И так далее до k-ой строки. В итоге получим, что определитель базисного минора равен нулю, что противоречит условию. Доказано.

12

Правило Крамера:

Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то её решение можно найти по формуле Крамера:

13

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Теорема Кронекера-Капелли. Произвольная система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда r(A) = r( ).

Доказательство:

Необходимость: Пусть система совместна и x₁ = , x₂ = ,…, x_n = - некоторые решения, подставив , ,…, - получим тождество:

Столбцы свободных членов являются линейной комбинацией столбцов матрицы А системы. Прибавим к последнему столбцу матрицы её первый столбец, умноженный на (- ), умножим второй столбец на (- ) и добавим к последнему и так далее до n включительно. В итоге получим матрицу С вида:

r(C) = r( ), r(C) = r(A) => r( ) = r(A).

Достаточность: пусть r( ) = r(A) = k. Для определенности предположим, что определитель k-ого порядка не равен 0 и расположен в левом верхнем углу:

Тогда первые k строк матриц А и линейно независимые, а остальные можно выбросить, т.к. они являются их линейной комбинацией.

Возможно два случая:

1. k = n. Тогда можно решить методом Крамера.

2. k<n. Тогда в левой половине оставим k неизвестных, а остальные перенесем вправо. Неизвестные этого минора мы назовем базисными, а остальные - свободные. Свободным неизвестным можно давать любые значения, получая при этом значения базисных решений. Доказано.

14

Метод Гаусса:

1. Привести матрицу (расширенную) к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и вычеркиванием нулевых строк. Неизвестные, соответствующие базисному минору, называются базисные, остальные неизвестные – свободные.

2. Все свободные неизвестные перенести в правую часть каждого из уравнений.

3. Совершая элементарные преобразования над строками матрицы снизу вверх, превращаем матрицу в диагональную, а потом в единичную.

Таким образом базисные элементы не зависят друг от друга .

15

Однородная система - система линейных алгебраических уравнений с нулевой правой частью.

Свойства решений системы линейной однородных уравнений:

Пусть e₁ и e₂ - два любых решения однородной системы.

A*e₁=0, A*e₂=0, следовательно c*e₁ – тоже решение и e₁+e₂ тоже решение.

Доказательство:

A*(c*e)= c (A*e) = c * 0 = 0;

A*(e₁ + e₂) = A*e₁ + A*e₂ = 0 + 0 = 0. Доказано.

Если e₁,e₂,…,e_n – произвольные решения системы, то линейные комбинации c₁*e₁ + c₂*e₂ +…+ c_ne_n тоже будут решением.

Фундаментальная система решения (ФСР) – линейно независимые решения системы уравнений e₁,e₂,…,e_n, удовлетворяющих уравнению A*x = 0.

Теорема о существовании ФСР:

Если r(A) = k < n, то система A*x = 0 обладает ФСР.

Доказательство:

Пусть А – матрица системы:

,

Уравнения от k до n являются следствием первых k уравнений, поэтому оставим первые k уравнений. Перенесем все неизвестные за знак равенства, получим:

Пусть , тогда , получим:

( )

Пусть , тогда , получим:

( )

Пусть , тогда , получим:

( )

Получим n-k решений, запишем их по строке:

Минор справа не равен 0, а значит все решения линейно независимые.

Докажем, что любое решение, деленое на e будет являться линейной комбинацией:

e₁ = ;

e₂ = ;

……………………..........

e_n = ;

e₀ =

Рассмотрим матрицу e₀ = (1)

тоже решение.

e₀ = (0;0;…;0). Подставим в (1), получим:

0 =

, доказано.

16

Общее решение неоднородной системы = частное решение неоднородной системы + общее решение однородной системы.

17

Вектор – направленный отрезок, один из концов которого – начало, другой – конец.