Вступ

Координатний метод розв'язування задач на сьогоднішній день найбільш потужний і при правильному підході дозволяє розв'язувати фактично всі види математичних, фізичних, астрономічних і технічних задач.

ТЕЗИ

наукової роботи «Координатний метод розв'язування »,

виконаної

Гоменюком Владиславом Валентиновичем– учнем 9-Б класу

гімназії № 59 ім. О. М. Бойченка м. Києва, слухач МАН

педагогічний керівник: Кабанець Тетяна Іванівна –

вчитель-методист гімназії №59 ім.О.М.Бойченка

В своїй роботі я поставив задачу показати, як розв'язуються стереометричні задачі, якщо на них поглянути «по-іншому», тобто розглянути задачу в тривимірній системі координат.

Предметом дослідження є координатно-векторний метод розв’язування стереометричних задач.

1. Координатно-векторний метод розв’язування стереометричних задач

Деякі метричні задачі зручно розв’язувати за допомогою координатно-векторного методу. Це перш за все завдання, в яких мова йде про куб, прямокутний паралелепіпед або тетраедр з прямим кутом. Прямокутна система координат у просторі природним чином пов'язана з многогранниками, при цьому серед координат їх вершин є багато нулів, що спрощує обчислення.

Сутність координатного методу, як і векторного, полягає в тому, що геометрична задача перекладається на мову алгебри, і її розв’язання зводиться до розв’язання рівнянь, нерівностей чи їх систем.

З курсу стереометрії відомо, що рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно ненульовому вектору в прямокутній системі координат має вигляд:

,

, де

Навпаки, будь-яке рівняння першого степеня визначає в координатному просторі єдину площину, яка перпендикулярна вектору з координатами (A, B, C).

Положення площини в просторі однозначно визначається заданням трьох точок, що не лежать на одній прямій. Нехай дана площина перетинає осі координат в точках , , , але не проходить через початок координат. Підставивши координати цих точок у загальне рівняння площини, отримаємо:

, , ,

де числа відмінні від нуля. Звідси знаходимо:

і рівняння приводиться до вигляду:

Отримане рівняння називають рівнянням площини у відрізках. Його часто застосовують при розв’язуванні задач.

Як відомо, відстань між двома точками і обчислюється за формулою:

Користуючись даною формулою можна легко вивести рівняння сфери.

В прямокутній системі координат рівняння сфери радіуса R з центром в точці має вигляд:

Якщо центр сфери співпадає з початком координат, то рівняння матиме вигляд:

Розглянемо способи задання прямої в координатному просторі.

Нехай пряма l проходить через дану точку і паралельна ненульовому вектору Вектор називають напрямним вектором прямої l (рис. 2).

Довільна точка належить прямій l тоді і тільки тоді, коли вектори

або

де t– деяке число (параметр). Дане співвідношення в координатах рівносильне системі рівнянь:

Дану систему називають параметричними рівняннями прямої.

Якщо пряма l паралельна осі то вектор є напрямним вектором, і рівняння прямої прийме вигляд: (координата z прийме довільне значення).

Нехай жодна з координат вектора не рівна 0. Тоді виключивши з отриманих рівнянь параметр t , отримаємо рівняння:

Отримані рівняння називаються канонічними рівняннями прямої.

Виведемо формулу для обчислення відстані від даної точки до площини , заданої в прямокутній системі координат рівнянням

Нехай перпендикуляр, проведений з точки до площини , перетинає її в точці (Рис. 3).

Тоді

Так як вектор перпендикулярний площині і колінеарний вектору то згідно з визначенням скалярного добутку,

Позначимо Тоді

Виразимо скалярний добуток, що стоїть в знаменнику дробу, через координати векторів і Отримаємо:

Точка лежить в площині , тому . Таким чином, маємо:

Враховуючи, що , отримаємо:

Отже, для того щоб обчислити відстань від точки до площини , потрібно в многочлен замість підставити координати точки , взяти модуль отриманого числа і поділити його на число

Наведемо основні векторні співвідношення і формули, які використовуються для розв'язування стереометричних задач.

1. Для будь-яких трьох точок Α, Β,C має місце рівність:

(правило трикутника).

2. Для будь-яких трьох точок Α, Β і О виконується рівність:

.

3. Для того, щоб точка С лежала на прямій АВ, необхідно і достатньо, щоб існувало таке число k, що

З даної рівності випливає, що

.

4. Нехай А і В – дві різні точки прямої і точка С – точка даної прямої така, що . Доведемо істинність формули:

де О – довільна точка.

Відмітимо, що , інакше було б, що , або

,

тобто . Але це неможливо, тому що А і В різні точки.

Нехай або Користуючись правилом віднімання векторів, отримаємо:

,

,

Дану формулу називають формулою ділення відрізка в даному відношенні. Якщо С – середина відрізка АВ, то і

.

5. Чотирикутник ABCD є паралелограмом тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних рівностей:

, , ,

де O – довільна точка простру.

6. Якщо вектори і неколінеарні, то для будь-якого вектора , що лежить в одній площині з і , існує єдина пара чисел x і y таких, що .

7. В просторі для кожного вектора існує єдиний розклад за трьома некомпланарними векторами , , :

(x, y, z – однозначно визначені числа).

8. Нехай точки А, В, С не лежать на одній прямій; тоді для того щоб точка D лежала в площині АВС, необхідно і достатньо, щоб існувала така пара чисел α і β, що .

При розв’язуванні різних геометричних задач на обчислення довжин відрізків і величин кутів, на доведення геометричних нерівностей ефективно використовувати скалярне множення векторів. Нагадаємо його основні властивості.

1. З визначення скалярного добутку слідує, що

,

тобто скалярний квадрат вектора рівний квадрату його довжини. Отже, для знаходження довжини відрізка AB може бути використана формула

.

За допомогою скалярного добутку двох векторів можна знаходити довжину відрізка, величину кута, отже, знаходити відстані, площі та інші метричні характеристики геометричних фігур. Для доведення перпендикулярності прямих і площин зручно користуватися ознакою перпендикулярності двох ненульових векторів:

Для знаходження довжини відрізка АВ векторним способом в якості базисних вибирають такі вектори, довжини яких і кути між якими вже відомі. Потім записують розклад вектора за базисними векторами і знаходять:

Якщо в задачі потрібно знайти величину кута , то в якості базисних беруть вектори з відомими відношеннями їх довжин і кутами між ними. Потім вибирають вектори на сторонах цього кута з початком в його вершині і розкладають їх по базису, після чого знаходять cos φ за формулою

2. Для будь-яких векторів і має місце нерівність

.

3. Відрізки AB і CD перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли

.

4. Для будь-яких векторів і має місце формула:

Для успішного використання векторного методу, корисно знати деякі рівності, які часто використовуються для роз’язування задач.

5. Для будь-яких векторів , , виконується рівність:

.

6. Для будь-яких трьох точок A, B і C:

,

теорема косинусів.

7. Для будь-яких чотирьох точок A, B, C, D:

.

Вектори і в лівій частині представимо у вигляді різниці двох векторів, відкладених від точки A. Отримаємо:

.

Доведена рівність є узагальненням рівності 6), яка випливає з неї при співпаданні точок D і A.