1)Предел последовательности, определение
Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство
числовая последовательность – это функция натурального аргумента: xn = f(n)
Пример 1. Доказать, что (указать ).
Решение. Неравенство из определения предела последовательности, которое мы должны решить относительно n, принимает вид Пусть . Тогда , откуда , следовательно, в качестве N можно взять . Здесь - целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее . Если, например, , то условиям задачи отвечают натуральные числа , то есть
2)Бесконечно малые и их свойства
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
3)Теоремы о пределах.
Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.
Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.
Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
Теорема. 4. Если u(x) z(x) v(x), и limx a u(x)=limx a v(x)=b, то limx a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").
Теорема
Следствие.
Теорема
при
4)Предел функции
Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале [b,c], содержащим точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.)
Число A называется пределом функции f (x) при , если для любого существует такое , что выполняется
при условии
Данное определение предела известно как - определение или определение Коши.
Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f (x)имеет предел A в точке x = a, если для каждой последовательности , сходящейся к точке a, последовательность сходится к A.
5)Число е ,замечательный предел
Числом e называется предел
Это число иррациональное и приближенно равно е = 2.718281828.... Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются
Данный предел называют вторым замечательным пределом.
Многие примеры сводятся с помощью простых хамен ко второму замечательному пределу.
Рассмотрим несколько примеров решения на второй замечательный предел.
Пример 1 - найти предел используя второй замечательный предел
Найти предел:
Решение.
Преобразуем предел:
Используя свойства пределов , а конкретно, что если функция непрерывна в точке a, то , получим:
Замечаем, что можно применить второй замечательный предел и получаем ответ.
Исходный предел равен: .
6)
.
при этом предел знаменателя -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,
8)Непрерывность функции, разрывы
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х0 – предельная точка множества Е.
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если
1. Она определена в точке х0
2. Существует конечный предел
3. Этот предел равен значению функции в точке х0.
Иначе говоря, функция у=f(x) называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть
Разрывность функции
Итак, если хотя бы одно из трех условий непрерывности не выполняется, функция называется разрывной в точке х0, а сама точка x0-точкой разрыва. Если в точке x0 оба односторонних предела существуют и конечны, то разрыв называется разрывом первого рода. Пусть х0-точка разрыва первого рода, т.е.
Возможны два случая
1. f(x0+0)=f(x0-0)=L, но либо функция f(x) не определена в точке х0, либо f(x0) # L (то есть не выполнено либо первое либо третье условие непрерывности). В этом случае разрыв называется устранимым, так как если доопределить функцию в точке х0 или переопределить ее, положив f(x0)=L, функция f(x) станет непрерывной в точке х0.
оба односторонних предела существуют, конечны и равны.
2. f(x0- 0) f(x0+0) B этом случае разрыв называется неустранимым.
Если же хотя бы один из односторонних пределов f(x0+0) или f(x0-0) не существует или бесконечен, то разрыв называется разрывом второго рода. Разрыв второго рода всегда неустранимый.
Если в точке х0 функции f(x) и g(x) непрерывны, то в этой же точке непрерывными являются и функции
9)Производная ,геом смысл
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
Если функция имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией
Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклонакасательной прямой.
10)Дифференциал
Дифференциал+ (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.
Обычно дифференциал функции f обозначается df.
Для функций
Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция
где f'(x0) обозначает производную f в точке x0.
Таким образом df есть функция двух аргументов .
Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение
11)Таблица производных
Доказательство
y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:
(a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2∙b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,
можно доказать, что
Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)n, и, следовательно,
Δy=(x+Δx)n – xn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.
Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.
Найдем предел
Производная сложной и обратной функции
Производная сложной функции |
|
"Двухслойная" сложная функция записывается в виде
где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна
Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! |
|
Пример 1 |
||||||||||
|
|
||||||||||
Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем
Обратная Рассмотрим функцию y = f(x), для которой существует обратная функция x = g(y). Теорема 5. Если обратная функция x = g(y) дифференцируема и g'(y) ≠ 0, то функцияy=f(x) дифференцируема, и Доказательство Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом: Δx=g(y + Δy) − g(y). Тогда получаем
13)Теоремы Теорема 1. Теорема Ро́лля утверждает, что если функция, имеющая производную на интервале, принимает в его концах равные значения, то её производная обращается в нуль в некоторой точке внутри интервала. (Теорема Ролля) Пусть функция f(x)
Тогда существует точка c (a, b) такая, что f'(c) = 0. Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)
Тогда существует точка с (a, b) такая, что
Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений
Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)
Тогда существует точка c (a, b) такая, что
Формула (3) называется формулой Коши. 14)правило Лопиталя Пусть при x a для функций f ( x ) и g ( x ), дифференцируемых в некоторой окрестности точки а , выполняются условия:
Эта теорема называется правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятсялибо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа: 0 / 0 и / . 15)Возрастание и убывание функции Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если
f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1. Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения x и y имеют разные знаки. 16)экстремумы функций Слово «экстремум» значит крайний. Точкой экстремума называется такая точка, в которой функция принимает крайние значения: наибольшее или наименьшее. Критической точкой функции называется такая точка ее области определения, в которой производная функции обращается в нуль или не существует. Критические точки функции, в которых она меняет возрастание на убывание или убывание на возрастание, называются точками экстремума. Если в точке экстремума функция меняет убывание на возрастание, то в этой точке достигается наименьшее значение хотя бы на небольшом участке ее области определения. Говорят, что такая точка является точкой локального минимума. Если в точке экстремума функция меняет возрастание на убывание, то в этой точке достигается наибольшее значение хотя бы на небольшом участке ее области определения. Говорят, что такая точка является точкой локального максимума.
17) Асимптота Определение (основное). Прямая называется асимптотой к кривой, если точка этой кривой неограниченно приближается к асимптоте при удалении точки по кривой в бесконечность. Определение. Если для функции выполняется, что
тогда прямая
называется вертикальной асимптотой к функции . Определение. Если существуют конечные пределы:
то прямая
называется горизонтальной асимптотой к функции . Определение. Если существуют конечные пределы:
и
тогда у функции существует наклонная асимптота
18)первообразные и неопределенные интегралы Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равенподынтегральному выражению f(x)dx, т.е. или Функцию называют первообразной функции . Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины. Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции,производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю. Например, известно, что , тогда получается, что , здесь - произвольная постоянная.
Пусть функция задана на некотором интервале . Если найдётся такая функция , что при всех имеет место равенство
то функция называется первообразной для функции . интегрирования – операции, обратной дифференцированию. 19)таблица интегралов
Здесь C - произвольная постоянная, т.к. производная от постоянной есть нуль, следовательно, неопределённый определяется с точностью до постоянной.
|