Дейст.Над геометрическими вект.В координатной форме.Признак коллинеарности векторов.

допустим /а=(ах,ау,аz),/в=(вх,ву,вz) заданы своими проекциями на оси координат Ох,Оу,Оz(/а=ах*/i+ау*/j+аz*/k.

/в= вх*/i+ву*/j+вz*/k).

1)линейные операции над вект.:а) /а+-/в=(ах+-вх)/i+(ау+-ву)/j+(аz+-вz)/k или кратко /а+-/в=( ах+-вх;ау+-ву; аz+-вz). При слож(вычит)вект.их одноименные координаты склад(вычит)

б) λ/а=λах*/i+λау/j+λаz/k или λ/а=(λах;λау;λаz) при умнож.вект.на скаляр корд.вект.умножаются на этот скаляр.

2)равенство векторов. /а=/в только тогда,когда выполняются равенства: ах=вх; ау=ву; аz=вz.

3)коллинеарность. Т.к. /а||/в, то /а=λ/в,где λ-некоторое число. ах*/i+ау*/j+аz*/k= λ(вх*/i+ву*/j+вz*/k) = λвх*/i+λву*/j+λвz*/k, отсюда: ах=λвх,ау=λву,аz=λвz, т.е. (ах/вх)=λ (ау/ву)=λ (az/вz)=λ, значит ах/вх= ау/ву=аz/вz

Проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и:векторы,имеющие пропорциональные или равные координаты, коллинеарны.

4)координаты точки-это координаты ее радиус-вектора.

5)координаты вектора. Они равны разностям соответствующих координат его конца и начала:

/АВ=(х2-х1;у2-у1;z2-z1)

Скалярное произведение геометр. Векторов и его свойства.Признак ортогональности векторов.

скалярное произведение 2х ненулевых векторов /а и /в называется число,равное произвдению длин этих векторов на косинус угла между ними./ав=|/а|/в|cjsφ. Скалярное произведение 2х вект.равно модулю одного из них,умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором. Св-ва:1)переместительное /ав=/ва; 2)сочетательное: (λ/а)/в=λ(/ав) 3)распределительное /а(/в+/с)=/ав+/ас

4)скалярный квадрат вектора=квадрату его длины: /а^2=|/а|^2

/i^2=/j^2=/k^2=1 ٧/а^2=|/а|

5)если/а_|_/в, то /ав=0

Если/ав=0 /а=0=/в, то /а_|_/в

Ортогональные векторы,если их скалярное произведение равно нулю.

8.вычисление скалярного произведения векторов через их координаты: переместит.св-во./ав=/ва

ЭЛИПС.ЕГО КАНОМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами   и  , расстояние между ними - через 2с. По определению эллипса   или  .

Х^2/a^2+y^2/d^2=1,где b^2=a^2-c^2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ И ЕЕ КАНОМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами   и  , расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы  , или 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛЫ И ЕЕ КАНОМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ.

Пара́бола—геометрическое место точек,равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы)и данной точки (называемой фокусом параболы). Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат: (или  , если поменять местами оси).

МАТРИЦЫ.ОСНОВ.ОПРЕДЕЛЕНИЯ,СВЯЗАННЫЕ С ЭТИМ ПОНЯТИЕМ (КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА, ПРЯМОУГОЛЬНАЯ МАТР., ТРЕУГОЛЬНАЯ МАТР, ТРАПЕЦЕИДАЛЬ. М., ДИАГ.М., ЕДИНИЧ.МАТР., НУЛЕВ.М., ТРАНСПОНИР.М., СКАЛЯРН.М)

матрицы-прямоугольные таблицы чисел,имеющие m строк и n столбцов.

Прямоугольная- система элементов a_ij, расположенных в виде прямоугольной таблицы.

Квадратная-матрица,у которй число строк=числу столбцов.m=n.

Треугольная-квадрат.матр.,у которой над главной диагональю или под ней,все эл-ты=0.

Трапецивидная - матрица, все эл-ты которой под главной диагональю = 0.

Диагональная-матрица,у которой эл-ты и верхнего и нижнего треугольников=0.

Единичная-скалярная матр,с единицами на главной диагонали.

Нулевая-матрица,все эл-ты котор.=0.

Скалярная-диагональная матрица с равными элементами на главной диагонали.

Транспонированная- матрица, полученная взаимной перестановкой строк и столбцов.

ДЕЙСТВИЯ С МАТР(СЛОЖ,УМНОЖ НА СКАЛЯР,ПЕРЕМНОЖ.МАТР.,ТРАНСПОНИРОВАНИЕ).ЗАКОНЫ,КОТОРЫМ ЭТИ ДЕЙСТ.УДОВЛЕТВОРЯЮТ

действия над матр.:1)сложение.

Сумма 2х матриц одинаковой размерности-матр.той же размерности, эл-ты которой=суммам соответствующих эл-ов матриц.

2)умножение на число.

Произведение матрицы на число-новая матрица,каждые эл-ты которой полученные умножением соответствующих эл-ов исходной матрицы на это число.

3) произведение матриц

Произведение 1матр. на др.определено только при условии, что число столбцов одной матрицы совпад.с числом строк др.матр.(по правилу умножение строки на столбец)

4)транспонирование - взаимная перестановка строк и столбцов.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ.ЕГО СВОЙСТВА.

определитель- число, сопоставленное в каждой матрице по некоторому правилу.

Св-ва:1)Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

2)Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

3) Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4)Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k.

5)Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

6)Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7)Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же.

8)Если к элементам некоторого столбца(или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.

9)определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ.МИНОР. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ.

определитель- число, сопоставленное в каждой матрице по некоторому правилу.

Минором некоторого элемента а_ij ,определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент а_ij. (определитель не=0) Обозначается М_ij.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается А_ij = (-1)^i+j × М_ij.

ОБРАТНАЯ МАТР. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ.

обратная матрица-квадратная матрица с определителем,не равным нулю. они сущестуют только у квадратных матриц.

Теорема.матрица,определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну:

А^-1=1/|А|*А^т

А^т —матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы .

Матрица А^т-называется присоединенной матрицей по отношению к исходной.В самом деле, матрица   существует при условии  . Надо показать, что она обратная к  , т.е. удовлетворяет двум условиям:

1)А( )=Е 2)( )А=Е

Докажем первое равенство. Согласно свойствам определителя следует, что  . Поэтому А( )= А=1/|А|*|А|*Е=Е, что и требовалось показать. Аналогично доказывается второе равенство. Следовательно, при условии  матрица   имеет обратную Единственность обратной матрицы докажем от противного. Пусть кроме матрицы   существует еще одна обратная матрица   такая, что  . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу  , получаем  . Отсюда  , что противоречит предположению  . Следовательно, обратная матрица единственная.

РАНГ МАТР.БАЗИСНЫЙ МИНОР. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАНГА М. С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.

ранг-порядок наивысшего минора, отличного от 0,равного r.

Базисный минор-любой отличный от нуля минор порядка r=rA.

Для того,чтобы вычислить ранг матрицы,необходимо сделать прямой прогон(приведение к треугольному виду)

СИСТЕМА ЛИНЕЙ.УР-ИЙ,ЕЕ РЕШЕНИЕ. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ЗАПИСИ ЛИНЕЙН.УР-ИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОДНОРОД,НЕОДНОРОД.,СОВМЕСТ.,НЕСОВМЕСТ.,ОПРЕДЕЛЕННОЙ И НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТ.

система линейных уравнений-услрвие,состоящее в одновременном выполнении m линейных уравнений с n неизвестными.имеет вид

аij – коэффициент системы.

i=1,2,..m вm-свободные члены

j=1,2…n хn-неизвестные или переменные

АХ=В матричный способ

Решение системы-упорядочная совокупность n чисел х1,х2,х3…хn при подстановки которой вместо соответствующих переменных все уравнения системы обращаются в верное равенство.

Эквивалентна(равносильна)-если решение 1 из них явл.решением другого и наоборот.

Сист.неопределена,есть беск. множ. Решений.

Определена,если она имеет единственное решение.

Сист.однородная,если ее свободные члены=0.она всегда совместна,т.к.имеет нулевое решение.

Неоднородная-если свобод.чл.не=0.она не всегда может быть совместной.

Совместна-если она имеет хотя бы 1 решение.несовместна-нет решений.

МАТР.СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТ.ЛИНЕЙН.УР-ИЙ

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Удобен для решения систем невысокого порядка. Основан на применении свойств умножения матриц.Пусть дана система уравнений: Составим матрицы:   A=;B=;X=. Систему уравнений можно записать:A×X = B.Сделаем следующее преобразование: A^-1×A×X = A^-1×B,т.к.   А^-1×А = Е, то  Е×Х = А^-1×В; Х = А^-1×В

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

формулы Крамера

Xn=/\n/ /\ /\НЕ=0

теорема Кронекера-Капелли.

Система совместна тогда и только тогда,когда ранг матрицы системы=рангу расширенной матрицы. n – число переменных.

Доказательство.1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Если r = r(расшир), система совместна, т.е. имеет решение.

Если r=n,то система определенная(имеет единственное решение) иначе множество решений.

Ранг=числу базисных переменных.

(n-r)=числу свободных переменных.

УСЛОВИЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ СИСТ.ЛИНЕЙ.УР-ИЙ

определена,условия:система совместна, имеет единственное решение.

Неопределенна:совместна,множество решений.

РЕШЕНИЕ СИСТ.ЛИН.УР-ИЙ МЕТОДОМ ГАУСА.

Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.(проводится прямой прогон).

теорема о совместности однород.системы линейных уравнений-это теорема кронекера-капелли.