Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса

Как и для любого векторного поля важно рассмотреть свойства потока электрического поля. Поток электрического поля определяется традиционно.

Выделим малую площадку площадью ΔS, ориентация которой задается единичным вектором нормали   (рис. 157).

В пределах малой площадки электрическое поле можно считать однородным ^[1], тогда поток вектора напряженности ΔФ_E определяется как произведение площади площадки на нормальную составляющую вектора напряженности

 . (1)

где   — скалярное произведение векторов   и  ; E_n — нормальная к площадке компонента вектора напряженности.

В произвольном электростатическом поле поток вектора напряженности через произвольную поверхность, определяется следующим образом (рис. 158):

- поверхность разбивается на малые площадки ΔS (которые можно считать плоскими);

- определяется вектор напряженности   на этой площадке (который в пределах площадки можно считать постоянным);

- вычисляется сумма потоков через все площадки, на которые разбита поверхность

 .

Эта сумма называется потоком вектора напряженности электриче-ского поля через заданную поверхность. Трудно найти явный физический смысл этой величины, но как мы указывали, поток векторного поля является полезной вспомогательной математической величиной.

Рассмотрим электрическое поле точечного заряда Q (рис. 159). Это поле обладает сферической симметрией — модуль вектора напряженности зависит только от расстояния для заряда, в любой точке вектор напряженности направлен радиально, вдоль прямой, соединяющей заряд с точкой наблюдения.

Окружим заряд сферой, произвольного радиуса R, центр которой совпадает с точечным зарядом. Во всех точках поверхности сферы вектор напряженности электрического поля направлен вдоль нормали к поверхности сферы (поэтому угол между ними равен нулю), его модуль постоянен и по закону Ш. Кулона равен

 .

Выделим на поверхности сферы малую площадку площадью ΔS_i, поток вектора напряженности через эту площадку равен

 .

Так как модуль вектора напряженности во всех точках сферы одинаков, суммирование потоков через поверхность сферы, сводится к суммированию площадей участков, на которые разбивается сфера. Вычислим поток вектора напряженности

 , (2)

здесь   — площадь поверхности сферы. Обратите внимание, что этот поток не зависит от радиуса сферы. Итак, поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через поверхность сферы равен отношению заряда к электрической постоянной.

Для обобщения полученного результата, вспомним теоремы о потоке несжимаемой жидкости. Самое важное — распределение скоростей от то-чечного источника, описывается такой же зависимостью, как и напряжен-ность электрического поля, созданного точечным источником. Следовательно, и потоки этих векторных полей подчиняются одинаковым законам. Поэтому, мы не будем подробно доказывать каждое утверждение, только приведем его основные этапы.

1. Выражение для суммарного потока (3) вывод можно обобщить для любой замкнутой поверхности, окружающей точечный заряд.

Поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность, окружающую заряд, равен величине заряда, деленного на электрическую постоянную:   (рис. 160)

2. Пусть внутри поверхности находится несколько зарядов (рис. 161). Так как для вектора напряженности электрического поля электрического поля справедлив принцип суперпозиции, то такой же принцип будет справедлив и для потока вектора напряженности. Следовательно, поток вектора напряженности электрического поля, созданного системой зарядов Qsub>1</sub>, Q₂, …, через любую замкнутую поверхность, окружающую заряды, равен сумме зарядов, деленную на электрическую постоянную ε₀: 

3. Если заряд Q´ находится вне замкнутой поверхности (рис. 162), то поток вектора напряженности поля, созданного этим зарядом через эту поверхность равен нулю: Ф_E = 0.

Наконец, можно объединить эти положения и сформулировать теорему о потоке вектора напряженности электрического поля (рис. 163): поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленную на электрическую постоянную ε₀:

Эта важнейшая теорема впервые сформулирована немецким математиком К. Гауссом и носит его имя (теорема Гаусса).

В отличие от напряженности поля, которая является точечной характеристикой поля (определена в каждой точке поля), поток этого вектора есть характеристика некоторого объема (усредненной, интегральной) характеристикой. Если в некоторой части пространства электрическое поле отсутствует (напряженность равна нулю), то и поток вектора напряженности через любую поверхность, находящуюся в этой части также равен нулю. Обратное утверждение не верно — если поток вектора напряженности равен нулю, то из этого не следует, что поле отсутствует. Единственный вывод, который можно сделать из равенства потока нулю — внутри рассматриваемой поверхности суммарный заряд равен нулю.

Заряды, находящиеся вне рассматриваемой замкнутой поверхности, создают электрическое поле, в том числе и внутри объема, ограниченного рассматриваемой поверхностью. Только суммарный поток поля созданного этими зарядами равен нулю («сколько втекает — столько вытекает»). Можно сказать, что заряды вне поверхности, перераспределяют поток поля, создаваемый зарядами внутри поверхности (рис. 164).

Теорема Гаусса строго доказывается на основании закона Ш. Кулона, поэтому она не несет нового физического содержания. Из теоремы Гаусса, легко выводится формула закона Ш. Кулона. Поэтому с точки зрения физики, теорема Гаусса и закон Кулона эквиваленты, это один и тот же физический закон, облаченный в разные математические оболочки.

Итак, на примерах мы показали, что, если силовые линии однородного электрического поля напряженностью   пронизывают некоторую площадку S, то поток вектора напряженности (раньше мы называли число силовых линий через площадку) будет определяться формулой:

где E_n – произведение вектора   на нормаль   к данной площадке (рис. 2.5).

  Рис. 2.5

       Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф_Е через эту поверхность.

       В векторной форме можно записать   – скалярное произведение двух векторов, где вектор  .

       Таким образом, поток вектора   есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным.

       Рассмотрим примеры, изображенные на рисунках 2.6 и 2.7.

	Рис. 2.6	Рис. 2.7

       Для рисунка 2.6 – поверхность А₁ окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е.   Поверхность А₂ – окружает отрицательный заряд, здесь   и направлен внутрь. Общий поток через поверхность А равен нулю.

       Для рисунка 2.7 – поток будет не равен нулю, если суммарный заряд внутри поверхности не равен нулю. Для этой конфигурации поток через поверхность Аотрицательный (подсчитайте число силовых линий).

       Таким образом, поток вектора напряженности зависит от заряда. В этом смысл теоремы Остроградского-Гаусса.