10. Интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Когда число опытов достаточно велико, то

Pn,m≈ (1/√npq)*φ(x)

x=m-n*p/√npq; φ(фи) – функция, значение которой табулированы (приводятся в специальных таблицах)

Свойства функции φ:

• четная (φ(-х)=φ(х))

• монотонно убывает, и если х>5, то φ(х)≈0.

Н-р, кубик бросают 100 раз. Найти вероятность, что цифра 5 выпадет ровно 20 раз.

5 вопросов:

1. Что такое опыт?

2. В чем состоит событие А?

3. Независимость?

4. Однородность?

5. Муавр-Лаплас

х=(20-100*1/6)/√20*1/6*5/6=120-100/10=2

Р_100,20≈6/10*φ(2)=6/10*0,054≈0,0324.

Задача: Найти вероятность, что событие А в испытаниях наступит не менее k1 раз и не более, чем k2 раза.

Рn, k1<=m<=k2.

Случай 2. Разница между k1 и k2 существенна. Для расчета вероятности надо использовать интегральную формулу Муавра-Лапласа.

Рn, k1<=m<=k2 ≈Ф(в)-Ф(а), где а и в рассчитаны по формулам а=(k1-np)/√nqp; в=(k2-np)/√npq. n-кол-во опытов, р-вероятность события в каждом опыте.

Ф – это функция Лампласа. Значения её табулированы (есть спец.таблица).

Правила:

1. функция нечетная Ф(-х)=-Ф(х)

2. если х>5, тогда Ф(х)≈0,5

Н-р: При проведение телепатического опыта индуктор независимо от предшествующих проб выбирает с р=1/2 один из 2х предметов и думает о нём, а рецепиент угадывает, о каком тот думает. Опыт повторен 100 раз. Найти вероятность, что будет угадано > 60 правильно.

1. Что такое опыт? (угадать предмет, n=100)

2. Событие А={угадал}

3. Независимы +

4. Однородность + р=1/2

5. k1=60,k2=100 разница ощутима. Интегральная теория Муавра-Лапласа.

а=(60-100*1/2)/√100*1/2*1/2=2

в=(100-100*1/2)/√100*1/2*1/2=100

Р_100,60<=m<=100=^х>5->0,5Ф(10)-Ф(2)=0,5-0,4772=0,0228.

Следующая формула дает возможность оценить отклонение относительной частоты события А от вероятность его появления в каждом опыте. m^{количество опытов в А}/n^{общее число опытов} → относительная частота.

Вероятность того, что в n независимых однородных испытаниях абсолютная величина отклонения относительно частоты появления события от вероятности появления события не превосходит положительною числа ε (эбселент) приближенно равна удвоенной функции Лапласа в точке ε√n/pq

Р(|m/n|<=ε≈2Ф(ε√n/pq)

10А. Формула Пуассона для редких событий.

Её применяют, когда вероятность события Р мала.

Р<0,1, a λ=n*p<10. λ-лямбда

Pn,m≈(λ^m/m!)*e^-λ

Н-р, на дневном отделении соц.фака 500 студентов. Найти вероятность того, что у 2-х студентов ДР придется на 17 октября.

р=1/365 – рождение в один день

1. Спросить отдельного студента о ДР. (n=500)

2. ДР – 17 октября. (m=2)

3. +

4. + р=1/365

5. Пуассон.

λ=500*1/365<10

Р_500,2≈((500/365)²/2)*е^-500/365

11. Простейший поток событий. Интенсивность потока. Формула Пуассона.

Поток событий – последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Интенсивность потока – λ – среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если интенсивность потока во времени не меняется, то поток называют простейшим.

Для простейшего потока есть формула

Р_t(K)=((λt)^k/K!)*e-^λt, где в левой части вероятность появление К событий за время t, а е – это const(2,7…). Эта формула носит название Формулы Пуассона для потока событий.

Н-р, среднее число посетителей парикмахерской за 1 час равно 4. Найти вероятность, что за 3 часа посетителей будет: а) 6, б) <6, в) не менее 6. Будем предполагать, что поток простеший.

t=3,λ=4.

а) K=6. P₃(6)=((3*4)⁶/6!)*e^-12

б) К<6. P₃(<6)= P₃(0)+ P₃(1)+ P₃(2)+ P₃(3)+ P₃(4)+ P₃(5)=

в) K>=6. P₃(>=6)=1- P₃(<6) (т.к. события в) и б) противоположные → их сумма дает 1)