19. Преобразования плоскости. Линейные отображения. Аффинные отображения. Произведение отображений. Аффинные преобразования (операторы). Ортогональные преобразования.

Преобразования плоскости: Под отображением f плоскости Р в плоскость R понимают закон или правило, по которому каждой точке плоскости Р сопоставлена некоторая определенная точка на плоскости R. Точки на плоскости Р – прообразы, на R – Образы. Такие отображения для которых две плоскости совпадают , называются преобразованиями.

Линейные отображения: Отображение f:P->R называется линейным, если существуют такие декартовы системы координат на плоскостях P и R, в которых f может быть задано формулами: (1)

Аффинные отображения: Взаимно однозначные линейные отображения называются аффинными отображениями, т.е. определяется формулой (1) при условии

Произведение отображений: Пусть даны отображения f:P->R и g:R->S. Отображение h, сопоставляющее точке А на плоскости P точку g(f(A)) на плоскости S, называют произведением отображения f на отображение g и обозначают gоf. Отображение, которое производится первым, пишется справа.

Аффинные преобразования (операторы): При аффинном преобразовании прямая линия переходит в прямую линию, отрезок в отрезок, параллельные прямые в параллельные.Каждое аффинное преобразование представляется собой произведение ортогонального преобразования и сжатий к двум взаимно перпендикулярным прямым.

Ортогональное преобразование: Рассмотрим две плоскости P и R’ и сопоставим каждой точке плоскости Р основание перпендикуляра, опущенное из этой точки на плоскость R. Это отображение, называемое ортогональным преобразованием. Иными словами, перемещение плоскости – параллельный перенос, поворот и осевая симметрия.