Вопросы к экзамену по Алгебре и геометрии (январь 2008)

1. Определение и виды матриц. Транспонированная матрица. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Линейная зависимость и независимость столбцов и строк матрицы. Умножение матриц и его свойства.

Матрица размеров m X n – совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов. Числа mn – элементы матрицы.

Если количество строк равно количеству столбцов, то матрица квадратная, а число её строк – порядок. В других случаях, матрица прямоугольная. Если все элементы матрицы равны 0, то это нулевая матрица. Две матрицы равные – если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Транспонированная матрица: Матрице A, размером m X n, можно сопоставить транспонированную матрицу A^T n X m, определяемую по следующему правилу: b_ji=a_ij, то есть элементы каждой строки матрицы A, записываются в том же порядке в столбцы матрицы B, причем номер столбца совпадает с номером строки. Эта операция называется транспонированием.

Сложение матриц: Матрица С, определяемая по А и В формулой c_ij=a_ij+b_ij , называется их суммой и обозначается A+B. То есть каждый элемент матрицы C, является суммой элементов матриц A и B, стоящих на том же месте.

Сумма определена только для матриц одни и тех же размеров.

Умножение матрицы на число: Матрица С, элементы которой c_ij равны произведениям элементов a_ij матрицы A на число α, называется произведением A на α и обозначается αА. Мы имеем: c_ij= αa_ij.

Линейная зависимость и независимость столбцов и строк матрицы:

Зависимость: Столбец q назовем линейной комбинацией столбцов p₁…p_m одинаковой высоты, если при некоторых числах α₁… α_m, выполняется условие:

q=Σa_kp_k(k=1,m)

или сумма всех столбцов от 1 до m равна столбцу q.

Независимость: Система из s столбцов a₁…a_s, одной и той же высоты называется линейно независимой, если мз равенства:

α ₁a₁+… α_sa_s=0 (1)

Следует α₁= α₂=…= α_s=0. В противном случае, если существует s чисел α₁… α_s, одновременно не равных нулю и таких, что выполнимо равенство (1), система a₁…a_s называется линейно зависимой.

Умножение матриц и его свойства: Матрицу С, элементы которой выражаются через элементы матриц А и В по формулам:

c_ij=Σa_ikb_kj (k=1, n)

(i=1,..,m;j=1,…,p)

Назовем произведением A на B и обозначим AB, где матрица имеет размер m X n, а матрица B n X p.

Свойства: Умножение матриц не коммутативно. Если две матрицы удовлетворяют условиям AB=BA, то они перестановочные (Например еденичная матрица).

Умножение матриц ассоциативно т.е. если определены произведения AB и (AB)C, то определены BC и AB(C) и выполнено равенство (AB)C =A(BC).

Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е. если имеет смысл выражение A(B+C), то

A(B+C)=AB+AC

Если произведение AB имеет смысл, то:

α(AB)=( αA)B=A(αB)

Ранг произведения двух матриц не превосходит ранг сомножителей.

2. Определители II и III порядков. Определитель матрицы n-ro порядка. Свойства определителей. Алгебраическое дополнение. Вычисление обратной матрицы с помощью определителя.

Определители II и III порядков: Детерминант 1 порядка – это единственное число самой матрицы. Детерминант 2 порядка можно вычислить путем суммы произведения элементов главное диагонали и произведения элементов побочной диагонали, взятому со знаком минуса. Детерминант 3 порядка можно вычислить по «треугольнику»(Здесь приводится пример вычисления детерминанта треугольником).

Определитель матрицы n-ro порядка: Для каждой матрицы A порядка n имеет место формула detA = Σ(-1)ⁱ⁺¹a_i1Mⁱ₁

Эта формула называется разложением детерминанта по первому столбцу. Также можно упомянуть о упрощении исходной матрицы (Сложение и вычитание строк).

Свойства определителей: Для любой квадратной матрицы A, A=detA^T. Если в квадратной матрице поменять местами какие-нибудь две строки (Или два столбца), то детерминант матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине(Антисимметрия детерминанта). Если i-й столбец(строка) матрицы A есть линейная комбинация столбцов (строк) p и q, т.е. имеет вид αp+βq, то

detA=αdetA_p+βdetA_q,

где матрицы A_p и A_q получаются из A заменой i-го столбца (Строки) соответственно на p и на q(Линейность детерминанта). Если в матрице A столбцы (или строки) линейно зависимы, то detA=0.

Алгебраическое дополнение: Алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы A называется число A_ij = ( − 1)^{i + j} M_ij, где M_ij — минор, определитель матрицы, получающейся из A вычёркиванием i -й строки и j -го столбца.

Вычисление обратной матрицы с помощью определителя:

3. Определение и виды систем линейных уравнений. Системы линейных уравнений с m=n. Правило Крамера.

Определение и виды: Совокупность m уравнений с n неизвестными. Бывают совместные и несовместные. Система совместна тогда и только тогда, когда в упрощенны вид расширенной матрицы A* входит строка |0…0 1| (Предполагается что столбцы не переставлялись). Приведенная система – такая система получается путем замены в исходной системе столбца свободных членов на нули.

Системы линейных уравнений с m=n: Если m=n (число уравнений равно числу переменных), то система линейных уравнений (и матрица A ее коэффициентов при переменных) называется квадратной.

Правило Крамера: Система из m уравнений и n неизвестных в случае, когда det матрицы A отличен от 0, имеет решение и притом только одно, решение определяется с помощью формул Крамера.

αⁱ=Δi/Δ i=1…n Δ=detA