Лабораторные работы по колебаниям и волнам

Лабораторная работа №1

ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННЫХ МАЯТНИКОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Задачей данной работы является ознакомление с простейшим случаем гармонических колебаний пружинного маятника, которые в воздухе можно считать незатухаю-щими. Работа складывается из двух разделов. Первый раз-дел работы (упражнение 1-2) – изучение собственных гармонических колебаний с одной степенью свободы (рис.1.1,а). Второй раздел работы (упражнения 3-4) – изу-чение системы двух связанных маятников (рис. 1.1,б, 1.1,в).

приборы и принадлежности

- набор пружин и грузов

- измерительная установка для отсчета отклонений грузов

- секундомер

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Пружинный маятник – это грузик, подвешенный на пру-жине. После отклонения от положения равновесия он будет совершать вертикальные гармонические колебания, если упругая пружина такова, что сила деформации пропорци-ональна величине удлинения пружины (, где– коэффициент упругости).

Под действием силы тяжести грузика она растянется на длину (рис. 1.2) – это будет соответствовать условию, что сумма сил, действующих на массу, равна нулю (), или условию минимума потенциальной энергии системы:

или

.

При отклонении от положения равновесия на величину x появляется возвращающая сила (рис. 1.2); тело на-чинает колебаться.

Уравнение движения тела:

;

, т.е.

– уравнение собственных незатухающих колебаний с частотой

.

Решением уравнения будет (при условии начального максимального отклонения)

.

Период колебаний равен

, т.е. . (1.1)

Из (1.1) видно, что с увеличением коэффициентов упру-гости () пружины растет частота колебаний и уменьшается период колебаний.

Характер собственных колебаний пружинного маятника не зависит от силы тяжести, а зависит только от перемен-ной возвращающей силы.

Система двух пружин с разными коэффициентами упру-гости, связанных друг с другом по схеме рис.1.1,б или 1.1,в представляет собой связанную систему с двумя степенями свободы. При колебаниях системы (рис.1.1,б) смещения у разных пружин в один и тот же момент времени не будут одинаковыми: . Во время колебаний будут изме-няться одновременно две величиныи, т.е. если мы резким толчком выведем из положения равновесия только нижнюю пружину, то возникшие колебания обязательно пе-редадутся к верхней пружине. Поэтому при анализе коле-баний мы обязаны учитывать одновременное движение обе-их пружин. Подобная система имеет две степени свободы.

Наблюдая колебания за некоторое сравнительно неболь-шое время, когда еще не сказалось действие сил трения, мы увидим, что колебания каждого из маятников негармонич-ны. Это объясняется перекачкой энергии от одной пружины к другой. Колебания будут носить характер биений. Время , за которое пружины обменялись энергией, называетсяпериодом биений. Механическая энергия будет полностью переходить из одной пружины в другую, пока она не прев-ратится в тепловую и колебания не прекратятся.

Характер биений в случае двух пружин во многом зави-сит от масс пружин и их упругости (упругих свойств). Чем меньше массы пружин, тем более гармоничными становятся колебания. Если пренебречь массами пружин, то систему пружинных маятников, изображенных на рис.1.1,б,в можно представить как пружинный маятник с одной степенью сво-боды, обладающий некоторым эффективным коэффициен-том упругости.

Формула эффективного коэффициента упругости для схемы последовательного соединения пружин выводится из предположения, что в точке соединения пружин силы упру-гости обеих пружин одинаковы. Тогда, если мы обозначим через удлинение пружины с коэффициентом упругости, а черезудлинение пружины с коэффициентом упру-гости, то можно записать

. (1.2)

Общее удлинение обеих пружин

. (1.3)

Тогда

. (1.4)

Подставляя вместо , получим выражение для эффективного коэффициента упругости:

,

откуда

. (1.5)

Период колебаний такого маятника равен , или

(1.6)

Формула эффективного коэффициента упругости маят-ника, составленного из двух параллельно соединенных пру-жин, получается из предположения, что если груз подвешен к точке, относительно которой моменты сил упругости и весов частей планки, разделенной точкой подвеса равны, то вращения нет. Cледовательно,

, . (1.7)