14) Основные понятия теории графов. Алгоритм Флойда. Алгоритм Дейкстры.

Основные понятия (см. вопрос 13)

Алгоритм Флойда.

Алгоритм Флойда-Уоршелла нахождения кратчайших путей между всеми парами вершин

Дан ориентированный или неориентированный взвешенный граф с вершинами. Требуется найти значения всех величин — длины кратчайшего пути из вершины в вершину .

Предполагается, что граф не содержит циклов отрицательного веса (тогда ответа между некоторыми парами вершин может просто не существовать — он будет бесконечно маленьким).

Этот алгоритм был одновременно опубликован в статьях Роберта Флойда (Robert Floyd) и Стивена Уоршелла (Варшалла) (Stephen Warshall) в 1962 г., по имени которых этот алгоритм и называется в настоящее время. Впрочем, в 1959 г. Бернард Рой (Bernard Roy) опубликовал практически такой же алгоритм, но его публикация осталась незамеченной.

Описание алгоритма

Ключевая идея алгоритма — разбиение процесса поиска кратчайших путей на фазы.

Перед -ой фазой () считается, что в матрице расстояний сохранены длины таких кратчайших путей, которые содержат в качестве внутренних вершин только вершины из множества (вершины графа мы нумеруем, начиная с единицы).

Иными словами, перед -ой фазой величина равна длине кратчайшего пути из вершины в вершину , если этому пути разрешается заходить только в вершины с номерами, меньшими (начало и конец пути не считаются).

Легко убедиться, что чтобы это свойство выполнилось для первой фазы, достаточно в матрицу расстояний записать матрицу смежности графа: — стоимости ребра из вершины в вершину . При этом, если между какими-то вершинами ребра нет, то записать следует величину "бесконечность" . Из вершины в саму себя всегда следует записывать величину , это критично для алгоритма.

Пусть теперь мы находимся на -ой фазе, и хотим пересчитать матрицу таким образом, чтобы она соответствовала требованиям уже для -ой фазы. Зафиксируем какие-то вершины и . У нас возникает два принципиально разных случая:

Кратчайший путь из вершины в вершину , которому разрешено дополнительно проходить через вершины , совпадает с кратчайшим путём, которому разрешено проходить через вершины множества .

В этом случае величина не изменится при переходе с -ой на -ую фазу.

"Новый" кратчайший путь стал лучше "старого" пути.

Это означает, что "новый" кратчайший путь проходит через вершину . Сразу отметим, что мы не потеряем общности, рассматривая далее только простые пути (т.е. пути, не проходящие по какой-то вершине дважды).

Тогда заметим, что если мы разобьём этот "новый" путь вершиной на две половинки (одна идущая , а другая — ), то каждая из этих половинок уже не заходит в вершину . Но тогда получается, что длина каждой из этих половинок была посчитана ещё на -ой фазе или ещё раньше, и нам достаточно взять просто сумму , она и даст длину "нового" кратчайшего пути.

Объединяя эти два случая, получаем, что на -ой фазе требуется пересчитать длины кратчайших путей между всеми парами вершин и следующим образом:

new_d[i][j] = min (d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);

Таким образом, вся работа, которую требуется произвести на -ой фазе — это перебрать все пары вершин и пересчитать длину кратчайшего пути между ними. В результате после выполнения -ой фазы в матрице расстояний будет записана длина кратчайшего пути между и , либо , если пути между этими вершинами не существует.

Последнее замечание, которое следует сделать, — то, что можно не создавать отдельную матрицу для временной матрицы кратчайших путей на -ой фазе: все изменения можно делать сразу в матрице . В самом деле, если мы улучшили (уменьшили) какое-то значение в матрице расстояний, мы не могли ухудшить тем самым длину кратчайшего пути для каких-то других пар вершин, обработанных позднее.

Асимптотика алгоритма, очевидно, составляет .

Реализация

На вход программе подаётся граф, заданный в виде матрицы смежности — двумерного массива размера , в котором каждый элемент задаёт длину ребра между соответствующими вершинами.

Требуется, чтобы выполнялось для любых .

for (int k=0; k<n; ++k)

for (int i=0; i<n; ++i)

for (int j=0; j<n; ++j)

d[i][j] = min (d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);

Предполагается, что если между двумя какими-то вершинами нет ребра, то в матрице смежности было записано какое-то большое число (достаточно большое, чтобы оно было больше длины любого пути в этом графе); тогда это ребро всегда будет невыгодно брать, и алгоритм сработает правильно.

Правда, если не принять специальных мер, то при наличии в графе рёбер отрицательного веса, в результирующей матрице могут появиться числа вида , , и т.д., которые, конечно, по-прежнему означают, что между соответствующими вершинами вообще нет пути. Поэтому при наличии в графе отрицательных рёбер алгоритм Флойда лучше написать так, чтобы он не выполнял переходы из тех состояний, в которых уже стоит "нет пути":

for (int k=0; k<n; ++k)

for (int i=0; i<n; ++i)

for (int j=0; j<n; ++j)

if (d[i][k] < INF && d[k][j] < INF)

d[i][j] = min (d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);

Восстановление самих путей

Легко поддерживать дополнительную информацию — так называемых "предков", по которым можно будет восстанавливать сам кратчайший путь между любыми двумя заданными вершинами в виде последовательности вершин.

Для этого достаточно кроме матрицы расстояний поддерживать также матрицу предков , которая для каждой пары вершин будет содержать номер фазы, на которой было получено кратчайшее расстояние между ними. Понятно, что этот номер фазы является не чем иным, как "средней" вершиной искомого кратчайшего пути, и теперь нам просто надо найти кратчайший путь между вершинами и , а также между и . Отсюда получается простой рекурсивный алгоритм восстановления кратчайшего пути.

Алгортм Дейкстры.

Алгори́тм Де́йкстры — Находит кратчайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.

Каждой вершине из V сопоставим метку — минимальное известное расстояние от этой вершины до a. Алгоритм работает пошагово — на каждом шаге он «посещает» одну вершину и пытается уменьшать метки. Работа алгоритма завершается, когда все вершины посещены.

Инициализация. Метка самой вершины a полагается равной 0, метки остальных вершин — бесконечности. Это отражает то, что расстояния от a до других вершин пока неизвестны. Все вершины графа помечаются как непосещённые.

Шаг алгоритма. Если все вершины посещены, алгоритм завершается. В противном случае, из ещё не посещённых вершин выбирается вершина u, имеющая минимальную метку. Мы рассматриваем всевозможные маршруты, в которых u является предпоследним пунктом. Вершины, в которые ведут рёбра из u, назовем соседями этой вершины. Для каждого соседа вершины u, кроме отмеченных как посещённые, рассмотрим новую длину пути, равную сумме значений текущей метки u и длины ребра, соединяющего u с этим соседом. Если полученное значение длины меньше значения метки соседа, заменим значение метки полученным значением длины. Рассмотрев всех соседей, пометим вершину u как посещенную и повторим шаг алгоритма.

Пример.

Рассмотрим выполнение алгоритма на примере графа, показанного на рисунке. Пусть требуется найти кратчайшие расстояния от 1-й вершины до всех остальных.

Кружками обозначены вершины, линиями — пути между ними (ребра графа). В кружках обозначены номера вершин, над ребрами обозначена их «цена» — длина пути. Рядом с каждой вершиной красным обозначена метка — длина кратчайшего пути в эту вершину из вершины 1.

Первый шаг. Рассмотрим шаг алгоритма Дейкстры для нашего примера. Минимальную метку имеет вершина 1. Её соседями являются вершины 2, 3 и 6.

Первый по очереди сосед вершины 1 — вершина 2, потому что длина пути до неё минимальна. Длина пути в неё через вершину 1 равна сумме кратчайшего расстояния до вершины 1, значению её метки, и длины ребра, идущего из 1-ой в 2-ую, то есть 0 + 7 = 7. Это меньше текущей метки вершины 2, бесконечности, поэтому новая метка 2-й вершины равна 7.

Аналогичную операцию проделываем с двумя другими соседями 1-й вершины — 3-й и 6-й.

Все соседи вершины 1 проверены. Текущее минимальное расстояние до вершины 1 считается окончательным и пересмотру не подлежит (то, что это действительно так, впервые доказал Э. Дейкстра). Вычеркнем её из графа, чтобы отметить, что эта вершина посещена.

Второй шаг. Шаг алгоритма повторяется. Снова находим «ближайшую» из непосещенных вершин. Это вершина 2 с меткой 7.

Снова пытаемся уменьшить метки соседей выбранной вершины, пытаясь пройти в них через 2-ю вершину. Соседями вершины 2 являются вершины 1, 3 и 4.

Первый (по порядку) сосед вершины 2 — вершина 1. Но она уже посещена, поэтому с 1-й вершиной ничего не делаем.

Следующий сосед вершины 2 — вершина 3, так как имеет минимальную метку из вершин, отмеченных как не посещённые. Если идти в неё через 2, то длина такого пути будет равна 17 (7 + 10 = 17). Но текущая метка третьей вершины равна 9<17, поэтому метка не меняется.

Ещё один сосед вершины 2 — вершина 4. Если идти в неё через 2-ю, то длина такого пути будет равна сумме кратчайшего расстояния до 2-ой вершины и расстояния между вершинами 2 и 4, то есть 22 (7 + 15 = 22). Поскольку 22<, устанавливаем метку вершины 4 равной 22.

Все соседи вершины 2 просмотрены, замораживаем расстояние до неё и помечаем её как посещенную.

Третий шаг. Повторяем шаг алгоритма, выбрав вершину 3. После её «обработки» получим такие результаты:

Дальнейшие шаги. Повторяем шаг алгоритма для оставшихся вершин. Это будут вершины 6, 4 и 5, соответственно порядку.

Завершение выполнения алгоритма. Алгоритм заканчивает работу, когда вычеркнуты все вершины. Результат его работы виден на последнем рисунке: кратчайший путь от вершины 1 до 2-й составляет 7, до 3-й — 9, до 4-й — 20, до 5-й — 20, до 6-й — 11.

16) Алгоритмы численного дифференцирования.

.

15) Алгоритмы численного интегрирования.

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0.

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона[1]) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).

Суть приёма заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

17) Геометрические алгоритмы. Способы задания простейших объектов.

Способы задания плоскости:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой линии

2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой

3. двумя пересекающимися прямыми

4. двумя параллельными прямыми

Способы задания прямой:

1.Двумя точками (А и В).

2. Двумя плоскостями (a; b).

3. Двумя проекциями.

4. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций.

18) Геометрические алгоритмы. Вычисление расстояний между объектами.

Линия задана двумя точками

Прямая, заданная уравнением

Вычисление расстояния от точки до плоскости.

19) Геометрические алгоритмы. Пересечение объектов.

Пересечение: Прямая(отрезок) и прямая (отрезок)

Пересечение: Три плоскости