Свойства оценок неизвестных параметров. Классификация оценок. Оценка методом моментов.
Всякая
оценка неизвестного параметра
по выборке является функцией
от выборочных значений. Значение
является конкретным значением с.в.
,
полученным по выборке, т.о. величины
можно рассматривать как числа (если
эксперимент проведен и выборка состоялась)
и как с.в.
(до эксперимента). В таком случае, функция
также является с.в., т.к. её аргументы
случайны.
Пусть
.
Выберем
для
оценки неизвестного параметра
.
Если параметр
является
средним значением, дисперсией или др.
параметром распределения, то находим
характеристики так.
Находим функцию посредством эмпирической функции. Затем, вычисляем числовую характеристику, которую принимаем за оценку параметра; .
По
теореме Хинчина известно, что
–оценка.
Оценка
обладающая
свойством
называется несмещенной
оценкой.
Оценка
называется
более
эффективной,
чем оценка
,
если
.
Оценка
,
для
которой достигается нижняя грань
называется
эффективной
оценкой. Но т.к. нижняя грань не всегда
принадлежит множеству оценок, оценка
не всегда существует.
Оценка
для которой мера разброса
при
ведет себя так же, как и для эффективной
оценки называется асимптотически
эффективной.
Оценка
называется самостоятельной, если она
при
сходится по вероятности к
,
т.е.
.
Метод
моментов используется, когда нужно
вычислить
и
другие характеристики. Имеется выборка
объема
Сначала
вычисляем
; затем
вычисляем выборочное среднее значение
;
наконец,
сравниваем полученные
,
откуда
следует
.
Если необходимо оценить несколько
параметров, то сначала вычисляется
теоретический, а затем эмпирический
моменты.
ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА ДЛЯ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ.
Имеется
выборка
объёма
,
каждое значение которой нормально
распределено. Величина
имеет распределение
с
степенью свободы.
Зададим
коэффициент доверия
(достаточно большим, чтобы вероятность
была близка к
),
и найдем два числа
и
.
Для
–распределения имеется плотность
распределения
,
т.е.
.
Так как эти числа могут быть выбраны
множеством способов, возьмем следующие.
Тогда
вероятность
,
и
если , то событие
практически достоверно. В результате
имеем
,
получается
доверительный интервал
,
что
и требовалось найти.
Классификация состояний цепей маркова. Уравнение колмогорова.
В
основе классификации случайных процессов
лежат три характеристики: пространство
состояний, индексирующий параметр
(время) и статистические зависимости
между случайными значениями процесса
,
соответствующими разными значениями
индексирующего параметра
.
Пространством состояний называют множество возможных значений (состояний) процесса . Пространство дискретно, если множество возможных положений некоторых частиц в пространстве конечно или счетно. Если множество положений частиц представляет собой конечный или бесконечный интервал (или несколько), то пространство непрерывно.
Если допускается изменение положения частиц в конечном или счетном числе моментов времени, то процесс с дискретным временным параметром. В противном случае, временной параметр непрерывен.
Рассмотрим составление и решение системы уравнений Колмогорова.
Д ля системы М/М/1 справедливо:
Далее по графу состояний строим систему ДУ Колмогорова.
Найдем решения системы, приняв . Имеем
откуда следует, что . По условию нормировки рассмотрим ряд , который для сходится. А значит .
В результате имеем .