Понятие выборки. Вариационный ряд. Гистограмма, полигон частот.

Выборка – совокупность значений, принимаемых с.в. при измерении. Пусть при измерении с.в. имеет значения . Объем такой выборки равен .

Имея значения выборки строим вариационный ряд – размещение выборочных значений по возрастанию или убыванию.

Размах выборки определяется из вариационного ряда, как .

Для определения частот выполняется группировка. Если имеется выборка объемом , то количество интервалов для значений с.в. находится из формулы Стерджеса как .

Зная размах выборки и количество интервалов можно найти ширину каждого интервала как . Частота равна количеству значений, попавших на интервал ширины .

Здесь — называется полигоном частот, а ломаная пунктирная – гистограммой. С уменьшением интервалов ломаная превращается в гладкую (аналогично плотности распределения).

ГИСТОГРАММА И ПОЛИГОН ЧАСТОТ.

Для определения частот выполняется группировка. Если имеется выборка объемом , то количество интервалов для значений с.в. находится из формулы Стерджеса как .

З ная количество интервалов можно найти ширину каждого интервала как , где размах выборки. Частота равна количеству значений, попавших на интервал ширины .

Здесь — называется полигоном частот, а ломаная пунктирная – гистограммой. С уменьшением интервалов ломаная превращается в гладкую (аналогично плотности распределения).

ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС.

Постулаты:

1) Вероятность того, что в интервале времени произойдет изменение состояния равна , где – интенсивность процесса.

2) Вероятность того, что в интервале времени не произойдет изменения состояния равна .

3) Вероятность того, что в интервале времени произойдет более одного изменения состояния равна .

Предположим, что произошло изменений в момент времени , тогда

Отсюда Разделив обе части на есть Учитывая, что и запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова , где При решении системы все выражаются через , а находится из условия нормировки.

СИСТЕМА M|E_r|1.

– поток Эрланга с числом степеней свободы . Каждая поступившая заявка получает обслуживание на этапах. Из-за этого рассматриваемый процесс в СМО не будет марковским, а значит, не может решаться через систему ДУ Колмогорова.

Пусть имеется СО с последовательными этапами. Время обслуживание на одном этапе имеет экспоненциальное распределение с параметром .

Вероятность того, что это .

– свертка функции.

А налогично находим

Пусть в систему поступило заявок и принесло работы. Если обслуживаемая заявка находится на -том этапе обслуживания, то число этапов, которые предстоит пройти всем заявкам системы равно — связь числа заявок с количеством этапов обслуживания. Зная вероятность того, что в системе имеется этапов можем вычислить вероятность наличия заявок в системе .

СИСТЕМА M|M|1.

В момент времени поступает заявка на обслуживание. Если система обслуживает заявки, то вновь пришедшие становятся в очередь.

Далее по графу состояний строим систему ДУ Колмогорова.

Найдем решения системы, приняв . Имеем

откуда следует, что . По условию нормировки рассмотрим ряд , который для сходится. А значит .

В результате имеем .

МО числа заявок, находящихся в очереди

, для .

МО длины очереди

. Заметим, что .

СИСТЕМА M|M|C.

- число каналов обслуживания. Построим граф переходов состояний системы. Сочтоянием системы является число заявок системы.

Если в системе нет очереди, то граф оканчивается на состоянии .

Запишем систему ДУ Колмогорова.

Для стационарного режима, т.е. , вычисляем все вероятности .

Находим из условия нормировки.

Среднее число заявок системы равно

;

Средняя длина очереди равна .

СИСТЕМА M|M|1|K : КОНЕЧНЫЙ НАКОПИТЕЛЬ.

В этой системе фиксировано число ожидающих заявок, и обозначает ёмкость накопителя (буфера), поэтому любая поступившая заявка получает отказ, если в накопителе нет мест.

З аметим, что

Так как по условию нормировки, то ;

Следовательно , а значит .

Примечание: рассмотреть случай для .

СИСТЕМА С ПЕРЕПОЛНЯЮЩИМ ПОТОКОМ.

Время обслуживания экспоненциально, и один канал обслуживания. Входящий поток переполняет систему, т.е. заявок в системе становится все больше и больше, следовательно, возрастает очередь. Выбор интенсивности входящего потока обусловлен тем, что интенсивность поступающих заявок характеризуется гармоническим рядом в зависимости от числа заявок, находящихся в системе.

По условию нормировки откуда следует

Среднее число заявок системы равно

;

Среднее время пребывания заявки в системе вычислим при помощи формулы Литтла , где – среднее число заявок в системе, – обратная величина времени между поступлением двух заявок. В результате получим .

ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ОЦЕНКА ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОЛИГОН ЧАСТОТ.

Эмпирическая функция распределения определяется по формуле

.С другой стороны, .

В ысота прямоугольников равна накопленной относительной частоте. Ломаная, соединяющая середины прямоугольников называется гистограммой.

На практике часто бывает известно, что функция распределения принадлежит определенному классу распределений, зависящих от одного или нескольких параметров ; В этом случае становится задача определения оценок неизвестных параметров по выборке.

Если имеется выборка , то число – это количество выборочных значений, попавших левее . Тогда и будет оценкой эмпирических значений, где – объем выборки. По закону больших чисел ;