Лекции Махутов
.pdfпостоянные коэффициенты, не зависящие от r, можно получить уравнения типа
(5).
σy = |
|
KΙσ |
ey = |
|
KΙe |
|
( |
2πr )nrσ |
(27) |
( |
2πr )nre |
где КIσ, КIе - коэффициенты интенсивности напряжений и деформаций в упруго-пластической области.
Из этих решений следует, что
|
|
|
|
|
2m |
(28) |
|
KΙσ = KΙ |
|
|
|||
|
1+m |
|
2
KΙe = KΙ1+m
Для упругого материала (m=I)
|
|
Ισ = |
|
Ιe = |
|
Ι |
|
K |
K |
K |
(29) |
nre= nrσ=I, тогда (27) сводится к (5).
Для идеально упруго-пластического материала (m=0)
|
|
Ισ =1 |
|
Ιe = |
|
Ι2 |
|
|
|
K |
K |
|
|||
K |
(30) |
21
Выражения (28) — (30), при введении в них функции f(r,θ) по (11) позволяют описать конфигурацию и размеры пластических зон в вершине трещины, приближающиеся к точным.
Показатели nrσ и nre в (27) соответственно равны:
|
nrσ = |
|
|
2m |
nre = |
|
|
2 |
|
|
(31) |
|
1 |
+ m |
1 |
+ m |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Из сопоставления (12) и (31) следует, что с переходом в упруго- |
|||||||||||
пластическую |
область |
|
распределение |
деформаций |
в |
вершине трещины становится все более неравномерным, показатель nre
приближается к I/r1 при m→0, а распределение напряжений выравниваются, т.к.
показатель nrσ приближается 1/r°=1 (рис.13).
Рис.13. Распределение напряжений и деформаций в вершине трещины в упругопластической области.
22
КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ.
При наличии в телах трещин как в случае однородного, так и в случае неоднородного состояния используются три группы критериев разрушения: силовые, деформационные, энергетические. При этом возникающие разрушения в зависимости от свойств материала и условий нагружения делятся на три основные группы: хрупкие, квазихрупкие, вязкие.
Рассмотрим пластину с центральной трещиной при действии на неё нагрузки Р (рис.14). Как известно, в области вершины трещины наблюдается ряд особенностей. Одной из них является наличие зоны пластичности, которая при
увеличении нагрузки Р продвигается на величину ι как единое целое с
вершиной трещины, при этом происходит изменение её формы и размеров.
Рис.14. Схема деформирования пластины с трещиной
23
L - общая деформация;
rт - размер пластической зоны;
δ- раскрытие в вершине трещины;
ι- приращение длины трещины;
emax - максимальная деформация в вершине трещины.
Зависимость этих параметров от внешней нагрузки Р называют диаграммой разрушения по аналогии с диаграммой деформирования (рис.15)
Рис.15. Диаграмма разрушения
24
Окончательное разрушение в зависимости от свойств материала и условий нагружения (температура, скорость нагружения), может произойти в любой из точек на кривой ОABC.
ОА - участок хрупких разрушений. Номинальные напряжения ниже предела текучести, зона пластического деформирования локализована rт << ι.Трещина
развивается с высокой скоростью ( 1200 -1500 м/сек). Разрушение описывается критериями линейной, механики разрушения (ЛMP). Поверхность разрушения кристаллическая (вязкая составляющая отсутствует Fв=0).
АВ - квазихрупкое разрушение.
σ ≥ 0,9σT
V ≈ 800 ÷1500 м/сек
Fв ≈ 0 ÷(50 ÷60)%
Пластические деформации могут возникать по всему опасному сечению. Для расчетов используются уравнения нелинейной механики разрушения.
ВС - вязкое разрушение σ>σт, rT≈B.
Fв 50 ÷60% ,V ≈ 0 ÷600 м/сек и зависит от скорости нагружения. Пластические деформации возникают по всему объему тела. Трещина останавливается, если прекратить нагружение (на участках ОА и АВ - не останавливается). Вязкое разрушение описывается нелинейной механикой разрушения. Таким образом в области, хрупкого разрушения с успехом можно использовать соотношения линейной механики разрушения (ЛMP);в области АВ можно пользоваться ЛМР с рядом допущений; в области ВК методы ЛМР вообще теряют смысл.
25
В настоящее время 90% всех расчетов на прочность производят для упругой области ОА, этот участок в первую очередь интересует конструктора. В некоторых случаях производятся расчеты и в области АВ, за пределом текучести.
В крайних случаях при расчете по предельному состоянию нагружения можно рассматривать и участок ВС.
Для тел с трещинами (как и без них) используются силовые, деформационные и энергетические критерии, разрушения.
СИЛОВЫЕ КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ.
Очевидно, что идеально хрупкие тела являются идеально упругими. Для идеально упругих тел напряженное и деформированное состояние в вершине трещины определяется единственным параметром - коэффициентом интен-
сивности напряжений (КI для модели I при условии, что напряжения |
б |
действуют перпендикулярно поверхности трещины). |
|
Если испытывать пластины c различной длиной трещиныl,то разрушение
будет происходить при достижении нагрузкой критического значения |
Рс |
(рис.16). |
|
Рис.16. Диаграмма разрушения хрупкого материала
C увеличением длины трещины при той же ширине пластины 2В
26
разрушающая нагрузка уменьшается, следовательно уменьшаются и номинальные напряжения по брутто сечению
σ |
c |
= |
Pc |
|
|
2BS |
(32) |
||||
|
|
||||
|
|
|
|
По результатам испытаний серии с различными длинами исходных трещин строится кривая σc −l
Рис.17. Зависимость разрушающих напряжений от длины трещины
Величина σc является силовым критерием, однако малостабильным, т.к.
зависит от размеров пластины 2В, размеров и ориентации трещины, а также от
способа нагружения. |
|
Для бесконечного числа |
форм образцов и длин трещин получается |
бесконечное множество кривых |
σc −l и в общей постановке эксперимент |
теряет смысл. Если же для |
данной серии испытаний воспользоваться |
|
зависимостью(5) и вычислить |
|
|
KΙ = σ πl fΙK |
(33) |
27
то при σ = σc |
величина КI достигнет критического значения |
KIC и для |
|
разрушений по ОА (рис.15) при разных σс имеем: |
|
||
|
|
KIC = const. |
(34) |
В соответствии с предложением Ирвина выражения (33)и (34) позволяют |
|||
считать |
КIC |
инвариантным силовым критерием разрушения, а саму |
характеристику КIC отнести к фундаментальным характеристикам материала. Экспериментальное определение KIC является одним из основных воп-
росов механики разрушения и подлежит стандартизации также как определение основных характеристик механических свойств материала.
На основе выражения (З4) можно проводить испытания только одного образца C трещиной получить критическое значение КИН KIC.
Для ИТОГО измеряется длина трещины, разрушающая нагрузка Рс,
вычисляется σс по (32)и рассчитывается |
|
KΙ =σc πl fΙΚ = KΙC |
(35) |
Это уравнение является основным при экспериментальном определении КIC.
Для всех других длин трещин разрушающие напряжения можно вычислить, используя выражение ( 35 )
σc = |
KΙC |
(36) |
|
|
πl fΙK |
Вместе с тем для большинства конструкционных металлов создание условий хрупкого разрушения по модели I при rт << l является не простым и в ряде случаев не вытекает из требований практики.
Например, условия хрупкого разрушения (гт<<l) могут быть созданы уменьшением размера зоны пластичности rт путем понижения температуры
28
испытаний до крайне низких значений, вплоть до Т°К→0, однако очевидно, что практической необходимости в этом случае нет.
С другой стороны получение условия rт<<l можно добиться увеличением l, но тогда мы окажемся в диапазонах больших длин трещин, которые уже наc не будут
интересовать. |
|
|
|
|
В том случае, когда |
σK<<σT |
, но |
размеры зон |
пластических |
деформаций при .разрушении |
достаточно |
велики |
выражения |
(34) и(35)не |
выполняются. В этом случае по предложению Ирвина в рассмотрение вводится не
фактическая начальная длина трещины l, а условная lT = l + rT |
|||||||
|
|
|
1 |
|
σ |
2 |
|
где |
rT |
= |
|
|
c |
l |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
σT |
|
Тогда: |
σC′ = |
KΙC |
(37) |
||
πlT |
fΙK |
||||
|
|
|
|||
Т.к. lT>l, то |
при KIC - const следует, что σe′ σC . |
|
|||
Уравнение (35) используется при условии 0 ≤ σC |
≤ 0,6σT , |
||||
а (37) - при условии 0,6σT ≤σC ≤ (0,9 ÷1,0)σT |
|
||||
По мере приближения σТ к σс размер |
rт растет и в зоне разрушения |
образуется макроскопическая деформация, а само разрушение может подчиняться модели I не по всей поверхности излома (рис.14). На краях поверхность разрушения имеет так называемые "губы среза". Такое разрушение соответствует моделям II и III и в этом смысле разрушение в целом становится смешанным.
Для таких разрушений размер “губ среза” ∆l составляет до 0,1 толщины и индекс I для критического значения коэффициента интенсивности напряжений не пишется, т.к.
KC =σC πl fΙK
или с поправкой на пластическую зону:
29
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
σ |
2 |
|
|
(38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
KC = σC |
πl |
|
+ |
|
σ |
C |
|
fΙK |
(39) |
||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Если в опыте определить KIC |
или КC ,то па уравнениям (35) или (38) |
|||||||||||||
можно найти критические напряжения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
σC = |
KΙC |
σC |
= |
KC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(40) |
πl fΙK |
πl fΙK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уменьшая размер трещины l в соответствии c выражением (40) линейная механика разрушения дает все возрастающие величины σс (риc.18)
Риc.18. Зависимость критичеcких напряжений от длины трещины.
При l→0 получаем σC→∞. Таким образом
прочность бездефектных тел получается бесконечной ,однако, это не согласуется с опытами для хрупких тел, для которых при l→0,σC→σв. Если принять какой-либо закон, описывающий реальную кривую, следует иметь в виду, что характер кривой может быть различен.Для определения формы реальной кривой требуется постановка соответствующих экспериментов.
30