53)Интегрирование некоторых иррациональных ф-ций с помощью тригонометрических ф-ции.

R(x, )

1. t=n tgz/m dt= =>

2. t= dt= => n sinz /cosz

3. t= dt= => n cosz

11111Определенный интеграл.

Постановка задачи.

Нижняя и верхняя интегральные суммы.

называются, соответственно, нижняя и верхняя интегральные суммы.

Число а называют нижним пределом интеграла, число b называют верхним пределом.

Отрезок [a,b] называют отрезком интегрирования, х-переменной интегрирования.

Опр: Если для ф-ции f(x) предел существует, то ф-цию называют интегрируемой на отрезке [a,b].

Св-ва верхней и нежнее интег. сумм

Свойство 3: верхняя и нижняя интегральные суммы яв-ся частными случаями интегральной суммы, поэтому если f(x) интегрируемая, то нижняя и верхняя интг. суммы стремятся к тому же пределу S.

Геометрический смысл: если построить график ф-ции y=f(x), то в слкчае если f(x)>0 интеграл будет численно равен площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной указанной кривой, и прямыми х=а,х=b.

54)Классы интегрируемых ф-ций.

1. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

2. Есил ограниченная ф-ция f(x) на отрезке [a,b] имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

3. монотонная ограниченная ф-ция всегда интегрируема.

Замечание: При введении понятия определенного интеграла, мы предполагали a<b, в случае если b<a примем по определению.

55)Основные св-ва определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить или нет за знак определенного интеграла.

(если f(x) интегрируема, то и Af(x) интегрируема), то выполняется

Док-во:

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких ф-ций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

Док-во:

3. Если на отрезке [a,b] при a<b ф-ции f(x) и (х) удовлетворяют условию: f(x) < (х),то

Док-во:

4. Если m и M наименьшее и наибольшее значение ф-ции f(x) на отрезке [a,b] и a<b,то

Док-во:

5. Теорема о среднем

Пусть a<b для определенности m и M наибольшее и наименьшее значение ф-ции, то

первоначальное равенство.

6. Для любых трех чисел a,b,c справедливо:

Предположи сначала, что a<c<b и составим интегральную сумму для ф-ции f(x) на отрезке [a,b]. Так как предел независимой суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части, то мы будем разбивать отрезок [a,b] на малые части так, чтобы c была точкой деления. Разобьем далее интегральную сумму соответствующую отрезку [a,b] на две суммы от a до b и от b до с, тогда в нижнем равенстве перейдя к пределу получим первоначальное равенство.

Теперь рассмотрим, если a<b<c

Переворачивая в последнем интеграле пределы , по лучим нужное равенство.