1)Ф-ция одной переменной.

1. Понятие ф-ции.

Опр:Если каждому значению переменной х, принадлежащей некоторой области Х, соответствует одно определенное значение другой переменной у, области У, то у есть функция от х или символически y=f(x)-указывает, что над значением х нужно произвести какие-то операции, чтобы получить у.

Опр:Совокупность значений х, для которых определяются значения ф-ции у в силу правила f(x), называется областью определения ф-ции или областью существования ф-ции.

Опр: Если ф-ция y=f(x) такова, что большему значению аргумента х соответствует большее значение ф-ции, то ф-ция y=f(x) называется возрастающей, аналогично убывающая.

Замечание: иногда допускают, что каждому значению области х может соответствует, не одно, а несколько значений у или даже бесконечное множество значений. В этом случая ф-цию наз. многозначной, иначе однозначной.

Способы задания ф-ции.

1.Таблич. При этом спосбе выписывают в определенном порядке значения аргумента х1,х2…и соответсвующие значения ф-ции у1,у2…(в результате экперементального изучения)

2.Графический. Если в прямоугольной системе координат на плоскости задана некоторая совокупность точек М(х,у), при этом не существует две точки на прямой параллельной оси ОУ, то эта совокупность определяет некоторую однозначную ф-цию у=f(x).

3.Аналитический.

Опр: Аналитическим выражением - называют символическое обозначение, содержащие указание на те операции над значением х, обозначающим постоянные или переменные величины, чтобы получить значение у.

Если ф-ная зависимость y=f(x) такова, что f обозначает аналитическое выражение, то говорят, что ф-ция y от х задана аналитически.

Опр: предположим, что значения двух переменных х и у связаны м/д собой уравнением (алгеброическим), тогда такое задание ф-ции называется неявным. F(x,y)=0.

Опр: если область х и у являются зависимыми от некоторой области t по некоторому правилу, то такое задание называется параметрическим.x=a(t-sint)y=a(1-cost)-циклойда

Положение точки на плоскости можно определить с помощью так называемой полярной системы координат. На плоскоти выбирают т. О, называемую полюсом, и выходящ из точки луч(полупрямую), называемую полярной осью. Положение точки опр-ся число , выраж расстояние от полюса, -величина угла, образованного отрезком ОМ с полярной осью. М ( , )-полярные координаты точки.

2)Понятие обратной функции.

Пусть даны множества Х={x} и Y={y} и ф-ция f: XàY и g: YàX, при этом ф-ция f двум разным значениям x1 и x2 из Х ставит в соответствие разные значения y1=f(x1) и y2=f(x2) из Y. Тогда ф-цию g будем называть обратной к ф-ции f, если для всякого x X выполняется g(f(x))=x и для всякого y Y выполняется f(g(y))=y. Ф-ция g обратная к f, и обозначается f . Если учесть, что традиционно ф-цию обозначают y, а аргумент обозначают x, то обратной ф-ей к y=f(x) будет y=f (x).

Теорема: Если ф-ция f строго монотонна в области Х и имеет область Y , то для нее существует однозначная обратная ф-ция f ,определенная на Y и с областью значений Х.

Если непрерывная ф-ция не яв-ся строго монотонной во всей своей области определения, то, если возможно, область определения разбивают на интервалы, в которых ф-ция строго монотонна, и в каждом таком интервале справедливо вышестоящее утверждение.

Аналитически обратную ф-цию можно получить, выразив х через у, затем меняем х и у местами.

4)Суперпозиция ф-ций(сложная ф-ция, композиция ф-ций, ф-ция от ф-ции)

Последовательность как частный случай ф-ции(ф-ция целочисленного аргумента)

Опр: елси всякому натуральному n ставится в соответствии число Xn.

Xn=1, Xn=(-1)^n -1;1;-1;1, Xn=(1+1/n)^n 2,(3/2)^2,(4/3)^3, Xn=n!=1*2*…*n,0!=1, (n+1)!=n!(n+1), (2n)!!=2*4*6*8…(2n)=2^n*n!,