4. Распределение Хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, их определения, свойства и применение при нахождении доверительных интервалов и проверке стат. Гипотез.

Распределения основных статистик, вычисляемых по выборке из нормально распределенной генеральной совокупности, связаны с распределением , Стьюдента T (k) и Фишера F (k₁,k₂).

Распределение χ2 (хи-квадрат) с k степенями свободы — это распределение случайной величины , равной сумме квадратов k независимых нормально распределенных по закону N (0,1) случайных величин U_i, i=1,2,...,k, то есть распределение сл. величины .

Параметр — число степеней свободы.

M[ ]=k

D[ ]=2k

Свойства: 1)U_k~N(0,1)

1. U_k – независимые

~ N (k, 2k) k ∞

Плотность распределения, если x>0

Если x ≤0, то 0.

Квантили

Распределение Стьюдента — распределение сл.в. T(k), равной отношению двух независимых случайных величин U и , то есть .

U~ - независимая случайная величина

U~N (0,1)

Свойство: Распределение Стьюдента симметрично. В частности имеет место соотношение

M [ ]=0 D [ ] = k/k-2

Плотность распределения

Квантили

Распределение Фишера — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

F(k₁,k₂)=

X (распределение ген.совокупности) ~N(m, δ^2/n)

M [F]=k₂/k₂-2

D [F] =

Свойства: 1)Если F~F(k₁,k₂), то 1/F ~ F(k₂,k₁). 2)Распределение Фишера сходится к единице.

Плотность распр. (n=k₁, m=k₂)

Квантили

Доверительный интервал для параметра θ называется интервал (θ₁, θ₂), содержащий (накрывающий) истинное значение θ с заданной вероятностью p=1-α, то есть P [θ₁<θ<θ₂]=1-α. Число 1-α называется доверительной вероятностью, а α- уровнем значимости. Один из методов построения доверительных интервалов состоит в следующим. Предположим, что существует статистика Y=Y( ) такая, что а) закон распределения Y известен и не зависит от θ. б) функция Y=Y( ) непрерывна и строго монотонна по θ.

Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки. Примерами статистических гипотез являются предположения: о виде закона распределения и параметрах двух распределений. Гипотезу, утверждающую, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках, на основании которых производится сравнение, называют нулевой (основной) гипотезой и обозначают Н₀. Наряду с основной гипотезой рассматривают и альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу Н₁. И если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза. Принятие или отклонение гипотезы Н₀ по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода возникает с вероятностью a тогда, когда отвергается верная гипотеза Н₀ и принимается конкурирующая гипотеза Н₁. Ошибка второго рода возникает с вероятностью b в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н0, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н₁. Множество S₀ называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S₁ – областью отклонения гипотезы или критической областью. При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним связаны распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.