15. Дифференциал функции, определение, геометрический смысл. Производные высших порядков. Производные функций, заданных параметрически и неявно.

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0, тогда её приращение в этой точке можно записать в виде суммы: Dy =A× Dx + a(Dx)D×x,

где Слагаемое a(Dх)D×х при Dх ® 0 – бесконечно малая более высокого порядка, чем Dх.

Дифференциалом функции y= f(x) в точке х₀ называется главная, линейная относительно Dх, часть приращения функции в этой точке: dy = AD×x. Учитывая, что А=f '(x₀), формулу можно записать в виде dy = f '(x₀)×Dx. Дифференциалом независимой переменной х назовем приращение этой переменной dx = Dx. Соотношение принимает теперь вид: dy = f '(x₀)dx

Г еометрич смысл:

Производная f '(x) функции y = f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. Назовём f '(x) производной первого порядка функции f(x).

Производная от производной некоторой функции называется производной 2-го порядка (или второй производной) этой функции.

Производная от второй производной называется производной 3-го порядка (или третьей производной) и т.д.

П роизводные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются у'', у''', у(4), …, у(n), … или f ''(x), f '''(x), f (4)(x), …,

f (n)(x), …

Производная n-го порядка явлся производной от производной (n-1)-го порядка: y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))'.

Если функция y = f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то 1-ая производная

f '(x) есть мгновенная скорость точки в момент времени х, а 2-ая производная равна ускорению точки в момент х

Пусть заданы две функции x = j(t), y = y(t) (1)одной независимой переменной t, определенные и непрерывные в одном и том же промежутке.

Если x = j(t) строго монотонна, то обратная функция t = F(x) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной х посредством переменной t, называемый параметром: y = y[F(x)].

В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с помощью уравнений (1). Предположим, что функции (1) имеют производные, причем j'(t) ¹ 0 на некотором промежутке. По теореме о производн обратн фц функция F(x) имеет производную: а по теореме о производной сложной фци фция y = y[F(x)] имеет производную:

y '(x) = y'[F(x)] × F '(x) Þ

Функция задана неявно, если она имеет вид f(x, y) = C.

Для нахождения производной y'x заданной неявно функции нужно продифференцировать обе части уравнения, считая y = y(x), а затем из полученного уравнения найти производную y'_x.

М ожно также воспользоваться свойством дифференциала функции двух переменных:

16. Теоремы о дифференцируемых функциях. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Ф ерма. Пусть функция f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х0 существует производная, то она равна нулю, т.е. f '(x0) = 0. В точке (х0; f(x0)) касательная к графику функции f(x) || оси Ох

Докво: Пусть для определенности f(x) в точке х0 имеет наибольшее значение, т.е. для " точки х0+ Dх Î(a, b) f(x) £ f(x0) для "хÎ(a, b) Þ Dy = f(x0+ x) - f(x0) £ 0 Поэтому, если Dх > 0 (x > x0), то

Если же Dх<0 (x<x0), то Dу/Dх ³ 0 Þ

Т.о. правая производная в точке х0 неположительна, а левая – неотрицательна. По условию f (x0) существует Þ f '+(x0) = f ' -(x0) = f '(x0). Это возможно только в случае, когда f '+(x0) = f '-(x0) = 0 Þ f '(x0) = 0.

Р олля. Пусть на [a, b] определена функция f(x), причем: 1) f(x) непрерывна на [a, b]; 2) f(x) дифференцируема на (a, b); 3) f(a) = f(b). Тогда существует точка сÎ(a, b), в которой f '(с) = 0. Доказательство: Т.к. функция f(x) непрерывна на [a, b], то по второй теореме Вейерштрасса она имеет на этом отрезке максимальное значение М и минимальное m, т.е. m £ f(x) £ M. Возможны 2 случая: 1) m = M; 2) m < M. 1) m = M = f(x) = const Þ f '(x) = 0 в " точке [a, b. 2) m < M. Т.к. f(a) = f(b) Þ хотя бы одно из двух значений m или M не принимается на концах отрезка [a, b] Þ $cÎ(a, b) в которой f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение на (a, b). Т.к. f(x) дифференцируема в точке с, из теоремы Ферма следует f '(с) = 0.

П усть на [a, b] определена функция f(x), причем: 1) f(x) непрерывна на [a, b]; 2) дифференцируема на (a, b). Тогда существует точка сÎ(a, b) такая, что справедлива формула Докво. Введем вспомогательную функцию

к оторая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля Þ $сÎ (a, b) такая, что F '(с) = 0.

Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки M1(a; f(a)) и M2(b; f(b)) графика функции y = f(x).f '(с) – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (с; f(с)). Из теоремы Лагранжа следует, что $ с такая, что касательная к графику в точке (с; f(с)) || секущей М1М2.

Л опиталь. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Докво. Пусть f(x) и g(x) – бесконечно малые в точке x0. Для простоты будем предполагать, что f(x) и g(x) непрерывны в точке x0 вместе со своими производными.

Применим к функциям f(x) и g(x) теорему Лагранжа на отрезке [x, x0].

, где

Учитывая непрерывность производных, получаем (1).