Основные свойства сходящихся последовательностей

Сходящаяся последовательность имеет только один предел

Любая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Если последовательность сходится, то сходится и любая ее подпоследовательность, и при том к тому же пределу.

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, чтобы в любой e окрестности нуля находилась разность между двумя произвольными членами этой последовательности, начиная с некоторых номеров, зависящих от e.

7. Бесконечно малые и большие числовые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Последовательность {an}, имеющая предел равный нулю, называется бесконечно малой.

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А в A-окрестности бесконечности находятся все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера N, зависящего от А.

Е сли {xn} – бесконечно большая последовательность и все

ее члены отличны от нуля, то последовательность бесконечно малая.

Е сли все элементы бесконечно малой последовательности

{an } отличны от нуля, то последовательность

бесконечно большая.

Замечание о бесконечно большой величине:

П оследовательность (переменную величину), имеющую предел можно представить в виде суммы своего предела и некоторой бесконечно малой величины.

Если переменную величину xn можно представить в виде суммы двух слагаемых: постоянного числа А и бесконечно малой величины, то числа А есть предел переменной величины xn.

С умма и разность двух бесконечно малых являются бесконечно малыми.

П роизведение двух бесконечно малых – бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

8. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей. Основные теоремы о пределах числовых последовательностей.

С умма(разность) сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме(разности) пределов исходных последовательностей.

Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов исходных последовательностей.

Частное двух сходящихся последовательностей при условии отличия знаменателя от нуля есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов исходных последовательностей.

Т .1. (О предельном переходе в неравенстве )

Если вместо нестрогого неравенства выполнятся строгое, то гарантировать выполнение строгого неравенства для пределов нельзя! (они могут быть и равны)

Т.2. Сравнительный признак сходимости («о двух милиционерах»)

Если сходящиеся последовательности xn, yn, zn таковы, что

- пример

9. Числовые ряды. Сумма числового ряда; сходящиеся числовые ряды; необходимый признак сходимости; абсолютно сходящиеся ряды. Достаточные признаки сходимости.

Ч исловой ряд – сумма элементов бесконечной числовой последовательности:

un – общий или n-й член ряда

– n-я частичная сумма ряда

Сходящийся ряд: (S – сумма ряда)

Р асходящийся ряд: или не $

Св-ва сходящихся рядов:

1Отбрасывание конечного числа членов не влияет

на сходимость.

2 Если ряд сходится и имеет сумму S, то сходится

также и ряд (а – число)

причем сумма этого ряда равна aS.

3 (Необходимое условие сходимости ряда)

Если ряд сходится, то

Основное свойство: последовательность частичных сумм ряда является неубывающей

Н еобходимое и достаточное условие сходимости: Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

(1) -Абсолютно сходящийся ряд, если сходится (2)

10. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел на бесконечности. Бесконечно малые и большие функции в точке, их свойства.