Шпора по математике

Множество – это совокупность элементов, понимаемых как единое целое (объединенных по некоторому признаку)

Множество X называется ограниченным, если существует число m такое, что для всех x  X x m

Если x  m – ограничено сверху, x  -m – ограничено снизу

Верхней гранью множества X называется supp X такое, что  x  X x  supp X и    0  x0  X x0  supp X - 

Нижней гранью множества X называется inf X такое, что  x  X x  inf X и    0  x0  X x0  inf X + 

Точка A называется предельной точкой для множества X, если в любой ее проколотой окрестности существуют точки из множества X.

Любой интервал, содержащий точку x0, называется окрестностью точки x0.

Число a называется пределом последовательности Xn, если    0  такой номер N = N (),  n  N Xn - a 

Теорема. Если предел существует, то он единственный.

Теорема. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство.

lim (n) Xn = a       N  n  N Xn - a 

Пусть  = 1

M = max {X1, X2, ..., Xn, a + 1}  Xn  M  n.

m = min {X1, X2, ..., Xn, a - 1}  Xn  m  n.

Теорема. Если {Xn} монотонно возрастает, т.е. Xn+1  Xn  n и ограничена сверху, то она имеет предел. Если {Xn} монотонно убывает, т.е. Xn+1  Xn  n и ограничена снизу, то она имеет предел.

Доказательство. Xn убывает, Xn+1  Xn  n  m m  Xn

Пусть m = inf {Xn}  1.  n m  Xn 2.    0  N XN  m + 

lim (n) Xn = m     0  N  n  N m  Xn  XN  m +   m -   Xn  m + .

Теорема о предельном переходе в неравенствах. Пусть lim (n) Xn = a и lim (n) Yn = b и пусть  n Xn  Yn, тогда a  b.

Доказательство. Пусть a  b,  = (a - b)/2  0.

     N1  n  N1 b -   Yn  b + 

     N2  n  N2 a -   Xn  a + 

Пусть n  max {N1;N2}

a -   Xn  Yn  b + 

a/2 + b/2  a/2 + b/2 (противоречие)

Теорема о вложенных отрезках. Пусть есть система вложенных отрезков [a1;b1]  [a2;b2]  ...  [an;bn] ... Тогда существует точка C, принадлежащая всем отрезкам.

Доказательство. Последовательность a1, a2, ..., an убывает и  n an  b1, т.е. она имеет предел lim (n) an = a.

Последовательность {bn} возрастает и bn  a1, т.е. она имеет предел lim (n) bn = b.

lim (n) (an - bn) = 0 = b – a, т.е. a = b

C = a = b

 n an  C  bn, т.е. C принадлежит всем отрезкам.

Пусть даны два множества D и G. Если каждому элементу множества D ставится в соответствие единственный элемент множества G, то говорят, что задана функция f: D  G.

Если D = R и G = R, то функция числовая, если D = N и G = R, то функция последовательность.

Все функции, задаваемые с помощью знаков +, -, * и операцией взятия сложной функции от элементарных называются элементарными функциями.

Предел функции. По Коши: Число a называется пределом функции f (x) при xx0     0    0  x 0  x – x0   f (x) - a .

По Гейне: Число a называется пределом функции f (x) при xx0   {Xn}x0  f (Xn)a (n).

Предел функции на бесконечности.

1. lim (xx0) f(x) = 

 E  0    0  x 0 x – x0   f(x) E ( для + f(x)  E, для - f(x)  -E)

2. lim (x) f(x) = a

   0    0  x x  (для + x  , для - x  -)

Односторонние пределы.

Число a называется пределом слева (lim (xx0 - 0) f(x) = a), если    0    0  x x0 -   x  x0  f(x) - a 

Число a называется пределом справа (lim (xx0 + 0) f(x) = a), если    0    0  x x0  x  x0 +   f(x) - a 

Теорема. Если lim (xx0) f(x) = a  , то функция ограничена в некоторой окрестности точки x0.

Доказательство.

Пусть  = 1, тогда  x 0 x - x0  a -   f(x)  a + 

Функция f(x) называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если предел в этой же точке равен 0.

Теорема. Сумма бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Доказательство. lim (xx0) (x) = 0, lim (xx0) (x) = 0

 /2  0  1  0  x 0 x – x0 1  (x) /2

 /2  2  0  x 0 x – x0 2  (x) /2

 x 0  x – x0  min (1,2)  (x) + (x)   lim (xx0) ((x) + (x)) = 0

Теорема. Если lim (xx0) f(x) = b  0, то функция 1/f(x) ограничена в некоторой окрестности точки x0.

Доказательство.

Пусть b  0, тогда   = b/2    x 0 x – x0   f(x) - b 

b – f(x) b - f(x)

b - f(x)  = b/2

f(x) b/2

1/f(x) 2/b

Теорема. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть в окрестности точки x0 (x) M и lim (xx0) (x) = 0, тогда  /M  0    0 

x 0 x – x0  (x) /M

   0    0  x 0 x – x0  (x) - (x) /M * M  

Теорема. Пусть lim (xx0) f(x) = b  0 и (x)(xx0) 0, тогда (x)/f(x) бесконечно малая функция в окрестности точки x0.

Доказательство. 1/f(x) – ограниченная, *1/f(x) – бесконечно малая (по предыдущим теоремам).

Пусть lim (xx0) f(x) = a и lim (xx0) g(x) = b, тогда:

1. lim (xx0) (f(x)  g(x)) = a  b

2. lim (xx0) (f(x) * g(x)) = a * b

3. lim (xx0) (f(x)/g(x)) = a/b (при b  0)

Теоремы о предельном переходе в неравенствах.

Теорема 1. Если  x f(x)  g(x), то lim (xx0) f(x)  lim (xx0) g(x)

Теорема 2. Пусть  x из окрестности точки x0 (x)  f(x)  g(x) и lim (xx0) (x) = lim (xx0) g(x) = a, тогда lim (xx0) f(x) = a.

Сравнение бесконечно малых функций.

Функция (x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем (x) в окрестности точки x0, если lim (xx0) (x)/(x) = 0.

Если бесконечно малые функции (x) и (x) имеют предел lim (xx0) (x)/(x) = k  0  , то (x) и (x) называют сравнимыми или одного порядка малости.

Если k = 1, то (x) и (x) – эквивалентные бесконечно малые.

Теорема. Сумма бесконечно малых функций эквивалента бесконечно малой низшего порядка.

Доказательство. Пусть есть  +  +  и  - низшего порядка.

/0 и /0, xx0

lim (xx0)  +  + / = lim (xx0) / + / + 1 = 1

 +  +   

Функция f(x) называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если предел в этой точке равен  / lim (xx0) f(x) = a

Функция f(x) – бесконечно большая  1/f(x) – бесконечно малая.

Для любых функций (x) и (x) с условием, что lim (xx0) (x)/(x) = 0, пишут (x) = ((x)) и говорят (x) о-малое (x), (x) = ((x)) (x) О-большое (x).

Замечательные пределы.

1. lim (x0) (sin x / x) = 1

2. lim (x) (1 + 1/x)x = e = 2,7

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и lim (xx0) f(x) = f(x0)

Теорема. Если функция f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то непрерывна функция f(x)  g(x); f(x) * g(x); f(x)/g(x) (g(x)  0).

Точки разрыва.

1. Устранимый разрыв lim (xx0 + 0) f(x) = lim (xx0 - 0) f(x) + f(x0)

2. Разрыв первого рода – оба односторонних предела существуют,   и  между собой.

3. Разрыв второго рода – один из односторонних пределов не существует или равен .

Функция f(x) называется непрерывной на замкнутом отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, а в точках a и b у нее существуют односторонние пределы.

M – максимальное значение функции f(x) на отрезке [a; b], если  x  [a; b] f(x)  M

m – минимальное значение функции f(x) на отрезке [a; b], если  x  [a; b] f(x)  m

Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b], тогда она достигает свое наибольшее и наименьшее значение.

Теорема 2. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b], тогда она принимает все значения между наибольшим и наименьшим значениями.

 m  C  M  x0  [a; b] f(x0) = C

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывная на отрезке [a; b] принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, тогда существует точка C  [a; b] такая, что f(C) = 0.

Теорема 4. Если в окрестности точки x0 функция y(x) монотонна, то у нее существует обратная функция, которая непрерывна, если непрерывна функция y(x).

Производная.

Производной функции f(x1) называется lim (f(x1 + x) – f(x1)) / x = f ’(x1) = lim (x0) f / x, где x = x2 – x1 – приращение аргумента, f = f(x2) – f(x1) – приращение функции.

f / x = tg   tg 

Назовем линию L касательной к кривой y = f(x) в точке x0, если для любой секущей, проходящей через x0 и x1, секущая будет стремиться к L при x1x0.

tg  - tg угла наклона касательной к кривой в точке x1  k = tg  =

f ‘ (x1)

Правила дифференцирования.

1. (u  v)’ = u’  v’

2. (u * v)’ = u’v + uv’

3. (u/v)’ = u’v – uv’/v²

Уравнение касательной: y – f(x0) = f ‘ (x0)(x – x0)

Уравнение нормали: y – f(x0) = (- 1/f ‘ (x0))*(x-x0)

Производная сложной функции.

Пусть z = f(y) и y = (x)  z = f((x))

z’x = lim (x0) z/x = lim (x0) z/ * /x = z’y * ’x

z’x = z’y + ’x

Производная обратной функции. Если функция у = f(x) и x = g(y) обратные, то y’x = 1/g’y.

Доказательство.

lim (x0) y/x = lim (g0) y/g = lim (g0, y0) 1/ (g/y) = 1/ g’y

Таблица производных:

1. a˟ - a˟ lna

2. loga x – 1/xlna

3. ln x – 1/x

4. sin x – cos x

5. cos x - -sin x

6. sh x – ch x

7. ch x – sh x

8. tg x – 1/cos² x

9. ctg x - -1/sin² x

10. arcsin x – 1/1 - x²

11. arccos x - -1/1 - x²

12. arctg x – 1/1+ x²

13. arcctg x - -1/1+ x²

14. e˟ - e˟

Функция называется дифференцируемой в точке если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде

где .

Если приращение функции f = f(x) – f(x0) можно представить в виде A(x – x0) +(x – x0), то линейная часть A(x – x0) называется дифференциалом функции.

Свойства дифференциала:

1. d(f  g) = df  dg

2. d(f * g) = dfg + dgf

3. d(f/g) = (dfg – dgf)/g²

Доказательство. d(f +g) = (f + g)’dx = f’dx + g’dx = df + dg

Теорема. Если функция имеет дифференциал, то она имеет и производную, причем A = f’(x0).

Доказательство. Пусть функция имеет дифференциал f = A(x – x0) + (x - xo)

f/x = A + (x - xo)/ x

Пусть x0  f’(x0) = A

df = f’(x0)dx

С геометрической точки зрения дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к кривой в точке , когда аргумент получает приращение

Пусть имеется функция f((x))

= y. Найдем дифференциал.

dy = (f((x)))’dx = f’ * ’(x) * dx = f’* d

Последнее равенство называется свойством инвариантности дифференциала.

Производные и дифференциалы высшего порядка

Производная определенная на некотором множестве является также функцией от x. В случае ее дифференцируемости можно вычислить ее производную. Производная от производной называется производной второго порядка:

Аналогично .

Начиная с четвертого, порядок производной обозначается только индексом в скобках (сверху). Производные порядка 1–3 также обозначаются По определению В случае дифференцируемости производной производная порядка n определяется равенством

(12)

Дифференциал от дифференциала функции f в точке x (если функция определена и дважды дифференцируема) называется дифференциалом второго порядка:

Дифференциал n-го порядка функции (в случае дифференцируемости n раз, ) определяется как дифференциал от дифференциала (n–1)-го порядка:

Для вычисления дифференциала порядка n используют формулу:

(15)

Дифференциалы второго и выше порядков не обладают (в отличие от дифференциалов первого порядка) свойством инвариантности, т. е. их форма, а следовательно и способ вычисления зависят от того, является ли аргумент x независимой переменной или дифференцируемой функцией другой переменной.

Производная параметрической функции.

Пусть функция задана параметрически, т.е. в виде x = x(t), y = y(t)

Пусть у x существует обратная функция t = x (x), тогда y = y(x (x))

y’x = y’t (x (x))’ = y’t/x’t

y’x = y’t/x’t

Производная неявной функции.

Если функция y = y(x) задана в виде (x,y) = 0, то говорят, что она задана неявно.

Чтобы найти производную, выражение (x,y) = 0 дифференцируют по x, считая, что y = y(x), из получившегося ответа выражают y’.

Теорема Ферма. Пусть в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум, т.е. f(x0)  f(x) (имеет локальный минимум). Если функция f дифференцируема в точке x0, то f’(x0) = 0.

Доказательство. Пусть x0 – максимум, f(x0)  f(x)

f(x) – f(x0)/(x – x0)  0, если x  x0

Пусть xx0, по теореме о сохранении знаков неравенства имеем: f’(x0)  0

C другой стороны, если x  x0: f(x) – f(x0)/(x – x0)  0

Пусть xx0  f’(x0)  0

Значит, 0  f’(x0)  0  f’(x0) = 0.

Теорема Ролля. Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a; b] и f(a) = f(b) = 0, то существует точка C  [a; b], где f’(C) = 0

Теорема Лагранжа. Пусть f(x) дифференцируема на отрезке [a; b], тогда существует точка C  [a; b], такая, что f(b) – f(a) = f’(C) * (b - a)

Теорема Коши. Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы на отрезке [a; b], тогда существует точка C  [a; b], такая, что f’(C)/g’(C) = (f(b) – f(a)) / (g(b) – g(a)).

Неопределенностями считаются следующие выражения: 0*; 0 в степени ;  в степени 0; 1 в степени  и т.д.

Правило Лопиталя. Пусть при вычислении lim (xx0) f(x)/g(x) получаются неопределенности. Если существует lim (xx0) f’(x)/g’(x), то он совпадает с

lim (xx0) f(x)/g(x).

Доказательство. Пусть имеется неопределенность 0/0.

f(x0) = 0, g(x0) = 0

По теореме Коши: (f(x) – f(x0))/g(x) – g(x0) = f’(C)/g’(C)

При xx0 Cx0  lim (xx0) f(x)/g(x) = lim (Cx0) f’(C)/g’(C).

Условие возрастания и убывания функции. Если f’(x0)  0, то f возрастает в окрестности точки x0, если f’(x0)  0, то f убывает в окрестности точки x0.

Доказательство. Пусть f’(x0)  0  f’(x)  0; x1  x2.

f(x1) – f(x2) = f’(x3)(x1 – x2)

f(x1)  f(x2)  f возрастает.

Пусть f возрастает в окрестности точки x0.

f/x = (f(x +x) – f(x))/ x  0, если x  0 или x  0.

По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем: f’(x0)  0.

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует некоторая окрестность точки такая, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство .

Значение называется локальным максимумом (минимумом) функции.

Точки максимума или минимума функции называются точками экстремума (локального). Максимум и минимум называются экстремумом функции.

Теорема 3 (первый признак экстремума функции).

Пусть – критическая точка непрерывной функции .

Если в некоторой окрестности точки выполняется условие

то – точка локального максимума;

если выполняется условие

то – точка локального минимума.

Если производная имеет один и тот же знак в левой и правой полуокрестности точки , то не является точкой экстремума.

Теорема 4 (второй признак экстремума функции).

Пусть – критическая точка функции , дважды дифференцируемой в окрестности точки . Тогда является точкой локального минимума функции , если и точкой локального максимума, если

Теорема 5 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений

Непрерывная на отрезке достигает наименьшего (наибольшего) значений либо на концах отрезка, либо в точках ее локального экстремума.

Для отыскания глобальных экстремумов функции на отрезке необходимо:

1) найти производную

2) найти критические точки функции;

3) найти значения функции на концах отрезка, т. е. и а также в критических точках, принадлежащих

4) из всех полученных значений функции определить наибольшее и наименьшее ее значения.

Теорема о выпуклости графиков. Если функция f(x) дважды дифференцируема в окрестности точки x0 и вторая производная строго меньше нуля, то график функции выпуклый, а если больше нуля, то – вогнутый.

Точка графика функции, в которой выпуклость сменяется вогнутостью (и наоборот) называется точкой перегиба.

Асимптотой к графику функции y = f(x) называется прямая линия, расстояние от которой до графика стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

План исследования функции и построения графика

1. Найти область определения функции .

2. Найти область значений (если это возможно вначале, часто можно указать только по результатам исследования).

3. Исследовать функцию на четность.

4. исследовать на периодичность.

5. Найти точки пересечения с осями Ox (нули функции) и Oy.

6. Найти промежутки знакопостоянства функции.

7. Исследовать на непрерывность, дать классификацию разрывов.

8. Найти асимптоты графика функции (горизонтальную, вертикальную, наклонную).

9. Исследовать на монотонность и экстремум.

10. Исследовать на выпуклость, вогнутость, перегиб.

11. Построить график функции.

На множестве X задана структура метрического пространства, если задана функция двух переменных, называемая метрикой, удовлетворяющая следующим аксиомам: (x; y) = (y; x); (x; y) = 0  y = x;  x, y, z (x; z)  (x; y) + (y; z).

Множество D на плоскости назовем открытым, если оно содержит каждую свою точку вместе с некоторой окрестностью.

Назовем точку z  D предельной, если в каждой ее окрестности есть точки из множества D.

Если множество D содержит все свои предельные точки, то оно называется замкнутым.

Предел функции нескольких переменных. Число A называется lim (xx0,yy0)     0  -окрестность точки (x0; y0)  (x; y)  - окрестности (x  x0 и y  y0) f(x, y) - A  .

Непрерывность функции нескольких переменных. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке (x0; y0), если она определена в окрестности этой точки и lim (xx0, yy0) f(x, y) = f(x0, y0) (по любому пути).

Частные производные. Назовем частным приращением по x следующее выражение xf = f(x + x, y) – f(x, y) и частным приращением по y следующее выражение yf = f(x, y + y) – f(x, y).

Частной производной по x называется lim (x0) xf/x = f/x (x, y) = f’x.

Частной производной по y называется lim (y0) yf/y = f/y (x, y) = f’y.

Если дифференцируемая функция принимает выражение f = f’yy +f’xx + (x, y) + (x, y), где /x²+y²  0 и /x²+y²  0, то выражение f’xdx + f’ydy называется полным дифференциалом функции f и обозначается df.

Касательная плоскость. Касательная плоскость, проходящая через точку M0 некоторой поверхности имеет следующее свойство: угол между этой плоскостью и любой секущей MM0 (M  плоскости)  0, при M  M0.

Уравнение нормали в каноническом виде: (x –x0)/ (f/x) = (y – y0)/ (f/y) = (z – z0)/ (f/z)

Функция z = f(x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если в окрестности этой точки значение f’(x – x0)  f(x, y)  (x, y).