2 Компл числа отличающихся только знаком мнимой части называются сопряжёнными

Z=0 если a=0 и b=0

Z1=a1+i*b1 z2=a2+i*b2 называются равными если a1=a2 b1=b2

Всякое компл число можно изобразить на плоскости Оху ввиде точки А(а,b)

Каждой точке плоскости Оху соотвествует компл число вида z=x+i*y

Плоскость на которой изображены компл числа называется плоскостью компл переменной z. Ось Оу на компл плоскости назыв мнимой осью ось Ох действ осью

Комплексное число можно записать в тригонометрической форме z=r(i*sinфи + cos фи) Выражение стоящее справа называется тригоном формой записи комплексного числа r-модуль компл числа , фи- аргумент компл числа r=lzl фи=arctg z. Аргумент компл числа считается положительным если он отсчитывается против час. стрелки, отр. По час срелке. Сопряжённые к.ч имеют разыне модули а их аргументы различны только знаками

29

Пусть – непрерывная функция на отрезке , функция непрерывна и дифференцируема на , и .Тогда верна формула .

Доказательство: По формуле Ньютона-Лейбница

где – первообразная для на . Т.к. . То является первообразной для функции . Поэтому, согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем:

.

Пусть u=u(x) v=v(x) диф ф от х известно, что (uv)’=u’v+v’u Интегрируя последние части тождества получим S(от а до b)(uv)’dx=Su’vdx+Sv’udx S(от а до b)(uv)’dx=uv(от а до b) => S(от а до b)udv= uv(от а до b)- S(от а до b)vdu

30

1 Пусть ф y=f(x) опр на [a,b] f(x)>=0 в этом случае площадь криволинейн. трап численно равна определ интегралу от f(x)*dx

2 Если f(x)<=0 на [a,b] то площадь крив трап определяется формулой: модуль определённого интеграла f(x)*dx

3 Если кривая y=f(x) пересекает ось Ох на [a,b] то этот отрезок нужно разбить на части в пределах которых f(x) не меняет знак, к каждой такой части применяется ф 1 или 2

4 В общем случае когда фигура ограничена 2 кривыми и 2 вертик прямыми х=а х=b f2(x)>=f1(x) на [a,b], тогда площадь равна опр интегралу от а до b

(f2(x)-f1(x))*dx

Площадь криволин сектора, т.е плоской фигуры ограниченной непрерывной линией r=r(фи) и двумя лучами фи=альфа и фи=бета (альфа<бета) где r и фи полярные координаты. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла фи, т.е S=S(фи) где альфа<=фи<=бета(если фи=альфа, то S(альфа)=0, если бета=0, то S(бета)=S) Если текущий полярный угол фи получит приращение дельта фи то приращение дельта S равно площади элементарного криволин сектора ОАВ Диференц dS представляет собой главную часть приращения дельта S при дельта фи->0 и равен площади кругового сектора ОАС радиуса r центральным углом dфи Поэтому dS=1/2*r^2*dфи. Интегрируя полученное равенство в пределах фи1=а фи2=b получим искомую площад ь

31

Площадь Пусть кривая y=f(x) задана в прям сист координат. Разобьём дугу М0Мn на элементарные дуги вида Mi-1Mi. Заменим элементарные дуги звеньями ломаной. Мы можем найти длину i-го звена дельтаХ итое=х итое-х итое-1, у аналогично

Дельта S итое = корень((дельта х итое)^2+((дельта у итое)^2)=

=корень((дельта у итое)/(дельта х итое))^2+1)*(дельта х итое)

(дельта у итое)/(дельта х итое)=f(x итое)-f(х итое-1)/ x итое- x итое-1=f’(си)

Следовательно Дельта S итое=корень(f’(си)^2+1)*дельта х итое. Тогда длина ломаной равна сумме длин звеньев (сумма от i=1 до n) По условию ф. непрерывна подкоренное выражение тоже непрерывно. Поэтому сущ предел указанной интегральной суммы при макс дельта х итое ->0, кот равен определённому интегралу . Кривая может быть задана парам уравнениями и полярными

Объём сечением Пусть имеется некоторое тело Т сделаем сечение эитого тела плоскостями препендикОх допустим мы знаем площадь любого сечения. Ясно, что получающиеся сечения имеют площадь которые зависят от полож сек плоскости Т.о мы имеем ф. от х. Q=Q(x) Предположим что Q(x) непрерыв ф. Для опр объёма тела разобьём это тело на слои плоскостями. Эти плоскости перпендик Ох и проходят через а=х0х1..хn=b На каждом отрезке [xi-1,xi] выберем произвольную точку сиi Построим цилиндрич тело образующая кот llОх а направляющая есть контур сечения. Объём Vi=Q(сиi)*dx Объём всех таких цилиндров равен сумме объёмов цилинд. Тел. Очевидно что если мелкость разбиения ->0 то сумма объёмов цилиндров ->к объёму тела Т. Т.е предел суммы есть объём при макс дельта xi->0 Следовательно объём тела Т есть опр интег от а до b Q(x)*dx

Объём тела вращ Пусть криволинейн трап вращаетсявокруг оси Ох Полученое тело вращ рассечём перпендик Ох Очевидно что в сечении мы будем иметь круг площадь кот pi*r^2=pi*y^2 Q=pi*[f(x)]^2 Объём тело вращ есть интеграл от a до b от Q

32

Пусть материальная точка М движется по прямой Ох под действием силы Fю Тогда: 1 Если lFl-постоянная то А на [a,b] определяется по формуле А=F(b-a)

2 Если lFl непрерывно меняется в зависимости от положения материальной точки М(т.е представляет собой некую функцию F(S) непрерывную на [a,b]) В этом случае разобьём отрезок [a,b] на N частей произвольным образом(дельта s1,s2,sn) и будем считать, что сила F постоянна на каждом дельта Si (i=1,n) Т.е пусть на каждом участке F=F(сиi) си(-[ Si-1,Si] Тогда на этом участке Аi=F(си)*дельтаSi

При достаточно малом дельтаSi эта ф даёт нам приблизительное значение Аn на пути дельтаSi А сумма работ на участке будет приближённым значением работы на всём отрезке [a,b] An-интегральная сумма, осуществив предельный переход при макс дельтаSi->0 получаем интеграл от а до b от F(s)ds

Координаты центра масс. Пусть имеется материальная линия,заданная кривой y=f(x) на [a,b] Будем считать что линейная плотность на всех всех участах прямой одинакова. Пусть линейная плотность равна гамма. Разобьём нашу линию на N частей Массы этих частей будут равны произведению их длины на плотность.

Дельта mi=гамма*длеьта si. На каждой части дельта si возьмём произвольную точку с абсциссой сиi Тогда подставим в формулы 1 и 2,считая что хi=сиi yi=f(сиi)

Xc= сумма(i=1 до n)гамма*дельта si*сиi/ сумма(i=1 до n)гамма*дельта si

Yc= сумма(i=1 до n)гамма*дельта si*f(сиi)/ сумма(i=1 до n)гамма*дельта si

Сокращаем гамма осуществляем предельный переход при дельта si->0 получаем пределы равные пределам соответств интегр сумм. Т.е коорд центра масс мы вычисл через опр интеграл.

Xc=опр интеграл от х*корень(1+f’(x)^2)*dx/опр интеграл от корень(1+f’(x)^2)*dx

Ус=опр интеграл от f(x)*х*корень(1+f’(x)^2)*dx/интеграл от корень(1+f’(x)^2)*dx

Коорд центра масс фигуры

Xc= интеграл от х*(f2(x)-f1(x))*dx/ интеграл от (f2(x)-f1(x))*dx

Yc=1/2* интеграл от (f2(x)^2-f1(x)^2)*dx/ интеграл от (f2(x)-f1(x))*dx

33

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Частные и полное приращение

Пусть дана некоторая функция z=f(x,y) дадим аргументам х и у приращения найдём значения ф т. (х+х,у+у)

Определение. Для функции f(x, y) разность f( x + x, y + y) – f(x, y) называется полным приращением и обозначается f .Если дадим приращение лишь 1 аргументу то ф z=f(x,y) получит приращение по этому аргументу

Разность f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х и обозначается хf .

Сумма часных приращ не равна полному приращ, но для линейных функций двух арг. Полное приращ равно сумме частных.

Способы задания функций нескольких переменных

Аналитический, который может быть явным, неявным.

Табличный: для функции двух переменных – в виде таблицы с двумя входами Геометрический( в виде поверхности в прям декартовой сист координат)

34

Частной производной 1 порядка ф z=f(x,y) по аргументу х в рассматр точке (x,y) называется предел отношения частной производной к приращению аргумента при приращ аргумента стрем к 0 lim хf/х при х->0=lim f(x+х,y)-f(x,y)/ х х->0 Обозначается частная производная df/dx, dz/dx,z’по х,f’(x,y) по х

Аналогично частная производная по у. Для нахождения частной производной по аргументу х достаточно найти обычн производную ф. f(x,y) считая последнюю функцией а у-постоянная. Если по у то наоборот. Определение частных производных можно рассматривать и на функцию какого угодно числа аргументов.

Частная производная от частной производной 1 порядка называются частными производными 2 порядка. Если сущ частн произв от частн произв 2 порядка, то она назыв произв 3 порядка и т.д. Можно опр 4 частн произ 2 порядка d^2f/dx^2

d^2f/dy^2 d^2f/dxdy d^2f/dydx. d^2f/dxdy d^2f/dydx отличаются порядком диференц и называются частными смеш производными 2 порядка. Аналогично и для более высоких порядков. Произведение df/dx*dx называется частным дифференциалом функции z=f(x,y) по х и обозначается df по х. Аналогично для у.

Дифференциалы независимых переменных х и у равны их приращениям dx=дельта х. Аналог для у.

Пусть функция z =f (х, у) определена в области D плоскости XOY, а т.M0(x0,y0) лежит в области D (см. рис. 11.4).

О: Число А называется пределом функции f(x, у) при стремлении т. М(х, у) к т. M0(x0,y0) если для любого числа эпсилон>0 найдется такое число дельта>0, что для всех т. М(х, у)и её окрестности  за исключением, быть может, т.М0 выполн нерав lf(x,y)-Al<E

О: Функция z =f (х, у) называется непрерывной в т.M0(x0,y0) если: 1) она определена в т.M0 и ее окрестности,

2)Limf(M) M->M0=lim f(x,y) M->M0=f(x0,y0)

О: Функция z =f(x, у) называется непрерывной на некотором множестве Епринадл D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.