Дивергенция

Дивергенция вектора есть предел отношения вектора через контрольную поверхность F к контрольному объему V, ограниченному данной поверхностью, при условии, что данный объем может быть стянут к внутренней точке, не выходя за пределы векторного поля (непрерывность функции):

Дивергенцию называют схождением или расхождением вектора, а если вектором является скорость потока, то коэффициентом кубического или объемного расширения, а также скоростью объемной относительной деформации.

Для контрольного объема дивергенция – источник/сток:

Поскольку в определении дивергенции участвует скалярное умножение на внешнюю нормаль, постольку положительное значение дивергенции означает, что внутренняя относительно объема V точка является источником для векторного поля. Если дивергенция отрицательна, то точку называют стоком.

3. Основные математические понятия. Ротор вектора скорости и его физический смысл в вихревом течении, теорема Стокса. Правила действий с оператором Гамильтона.

Ротор представляет собой угловую скорость вращения твердого тела с точностью до числового множителя. Направление ротора – направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение, по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S. Связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между производной по направлению и градиентом.

Циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль кривой . Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция не равна нулю, так как в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак, положительный при совпадении вектора с направлением обхода векторной линии и отрицательной в обратном случае.

Свойства ротора:

1) , если постоянный вектор;

2) , ;

3)

4)

Формулу Стокса можно записать в векторной форме:

Эта формула показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого вектора через поверхность , лежащую в поле вектора и ограниченного контуром . Используя формулу Стокса, можно дать другое определение ротора вектора – это вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора по контуру плоской площадки , перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки. Это векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Оператор Гамильтона служит для удобства записи основных операций над скалярным ( ) или векторным ( ) полем – , , (векторные дифференциальные операции первого порядка). Он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

Символическое умножение вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а умножение символов на величины как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

4. Термодинамические характеристики рабочего тела, параметры состояния в идеальных и реальных газах, молекулярно-кинетическое обоснование. Первый и второй законы термодинамики. Изменение энтропии.

Совершенный газ – упрощенная модель реального газа, с принятыми допущениями:

• Полностью отсутствуют межмолекулярные силы;

• Молекулы в виде материальных точек, обладающих массой;

• Теплоемкость, газовая постоянная, показатель адиабаты и молярная масса неизменны и не зависят от температуры;

• Агрегатное состояние неизменно при любых условиях.

Газ можно рассматривать как совершенный до температуры 2500 К, при более высоких температурах начинаются процессы диссоциации, ионизации и рекомбинации.

Идеальный газ – совершенный газ, лишенный свойств вязкости.

Параметры состояния рабочего тела:

Давление. Согласно МКТ, давление – результат ударов хаотически и непрерывно движущихся молекул о стенки сосуда. Основное уравнение кинетической теории для модели идеального газа:

число молекул вещества в ; масса молекулы, кг; средняя квадратичная скорость молекул, м/с; число Авогадро (число молекул в 1 кмоле); молярная масса вещества, кг/кмоль; молярный объем вещества, . Моль – количество вещества, в котором содержится столько молекул, сколько содержится атомов в изотопе углерода массой 0,012 кг.

При постоянной температуре давление определяется только числом молекул в единице объема, и не зависит от рода молекул. При свойства газа определяются только числом молекул.

Температура. Согласно МКТ, абсолютная термодинамическая температура – величина, пропорциональная средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа. По уравнению Больцмана, для модели идеального газа:

константа Больцмана.

Абсолютный ноль температуры – ноль по шкале Кельвина ( ), при котором прекращается движение молекул.

Плотность и удельный объем. Это количество вещества, заключенное в единице объема:

Эти три параметра состояния связаны между собой уравнением Клапейрона-Менделеева, для одного килограмма идеального газа:

удельная газовая постоянная, Дж/кг∙К. При умножении на молярную массу, получается универсальная газовая постоянная, одинаковая для всех газов (на основании закона Авогадро о том, что при одинаковых давлении и температуре все газы имеют одинаковый молярный объем, при н.у. равный 22,4 м³/кмоль).

Значение универсальной газовой постоянной при н.у. (101325 Па и 273,15 К) равно:

Вид термодинамического процесса определяется показателем политропы , из уравнения политропного процесса, для идеальных газов:

При процесс будет изобарным, изотермическим, изохорным, адиабатным. Чем выше показатель политропы, тем меньше сжимаемость и больше упругость газов.

Теплоемкость тела – количество тепла, необходимое для нагрева единицы вещества на один градус Кельвина. Истинная теплоемкость соответствует бесконечно малому изменению температуры:

В газодинамике используют массовые теплоемкости – изобарную и изохорную:

показатель адиабаты.

Энтальпия – сумма потенциальной внутренней энергии и потенциальной энергии давления для единицы вещества:

Уравнение состояния через полную энтальпию и внутреннюю энергию :

Модуль упругости – количественная оценка сжимаемости газа, отношение изменения давления к вызванному им относительному изменению плотности:

Упругость газов, в зависимости от давления и вида термодинамического процесса, на 3-4 порядка меньше упругости капельных жидкостей. На малых скоростях газовых потоков их свойство сжимаемости проявляется незначительно, поэтому их рассматривают как поток капельной жидкости.

Первый закон термодинамики: подводимые к газу удельное тепло трения и внешнее тепло расходуются на изменение внутренней энергии и на работу деформации , иначе говоря, на изменение энтальпии и работу проталкивания:

Второй закон термодинамики: рост количества подводимого тепла увеличивает приращение энтропии, в то время как рост температуры, при которой к системе подводится тепло, снижает приращение энтропии.

Свойства реальных рабочих тел описываются уравнением Ван-дер-Ваальса:

экспериментальная константа, характеризующая силы межмолекулярного взаимодействия, суммарный объем, занимаемый молекулами при . Влияние переменных уравнения на давление:

К увеличению давления приводит:

увеличение скорости хаотического движения молекул;

увеличение концентрации молекул увеличивает межмолекулярные силы;

уменьшается оттягивающее действие на молекулы, приближающиеся к стенке;

уменьшение свободного пробега молекул и увеличение количества ударов о стенку;

Также уравнение состояния может иметь вид , где коэффициент сжимаемости природного газа, определяется по номограммам.