55. Параболические, эллиптические и гиперболические уравнения. Понятие о характеристических линиях и поверхностях. Простые волны Римана, примеры волн Римана. Понятие о волне Прандтля – Майера.

Характеристическая поверхность – это такая поверхность, на которой решение существует но является неоднозначным. Любая линия на этой поверхности называется характеристической (характеристикой).

Разрешается неопределенность на линии пересечения двух характеристических поверхностей (появляется частное решение).

Примеры: в стволе при выстреле

Простые волны Римана (нестационарное течение):

любое простые стационарные волны, Фарнкля-Маера – стационарные сверхзвуковые

Волна Прандтля-Майера (сверхзвуковое стационарное течение):

Представляет собой пучок центрированных волн.

56. Кинематика движения жидкой частицы. Виды движения. Вихревое и потенциальное движение, условия незавихренности, потенциал скорости. Основные понятия. Уравнения, описывающие вихревое течение. (Сборный вопрос из отдельных тем курса).

Потенциальное течение – движение, при котором отсутствует движение частиц среды относительно собственных осей ( ).

Вихревое течение – если ротор скорости или циркуляция скорости по любому замкнутому контуру отлична от нуля, то частицы вращаются вокруг собственных осей.

Потенциал скорости – функция, частные производные которой соответствуют компонентам скорости: и т.д.

57. Теоремы Стокса, Гельмгольца, Томсона. Проявления действия теорем и нарушения их условий (свободные тороидальные вихри; тороидальные вихри, порожденные осевыми вихрями; разгонные вихри; вихревые следы, разрывы и пр.). Расчет потенциального вихря.

Теорема Стокса: Интенсивность вихревого шнура равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, опоясывающему вихревую трубку один раз по ее поверхности так, что его можно стянуть в точку, не выходя за пределы жидкости.

Следствия:

• Если контур охватывает несколько вихревых трубок или областей, то циркуляция скорости по этому контуру будет равна алгебраической сумме циркуляций по контурам, охватывающим каждую вихревую область отдельно.

• Если внутри рассматриваемой области течение безвихревое, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру в этой области равна нулю. Однако, если циркуляция по некоторому замкнутому контуру равна нулю, это еще не значит, что течение безвихревое.

Теорема Томсона:

Если:

1. Силы, действующие в жидкости имеют потенциал;

2. Идеальная жидкость баротропна (плотность зависит только от давления);

3. Поле скоростей непрерывно.

То циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру остается постоянной во все время движения частицы, т.е. при выполнении условий теоремы вихри не могут ни возникнуть вновь, если их не было, ни исчезнуть, если они имелись. Это следствие теоремы Томсона называется теоремой Лагранжа.

Теорема Гельмгольца:

Если принять условия теоремы Томсона, то можно утверждать, что:

• Интенсивность вихревой трубки во все время движения остается постоянной;

• Интенсивность вихревой трубки постоянна вдоль всей ее длины, т.е. циркуляция скорости по любому контуру, охватывающему трубку, постоянна.

Если величина скорости не меняется по сечениям трубки, то:

Следствия теоремы:

• Чем меньше площадь сечения вихревой трубки, тем больше интенсивность вихревой трубки;

• Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости – они либо замыкаются на себя, как кольца табачного дыма, либо опираются на свободную поверхность жидкости или твердого тела (водовороты, смерчи), или, наконец, уходят в бесконечность.