Введение

Данная расчётно-графическая работа посвящена изучению теории линейных электрических цепей. Теория линейных электрических цепей является основной теоретической базой в подготовке инженеров по радиотехнике, радиосвязи, радиовещанию, телевидению и другим специальностям. Данная расчётно-графическая работа предназначена для ознакомления с уравнениями электрического равновесия цепей, методами, основанными на непосредственном применении законов Кирхгофа, методом контурных токов, методом узловых напряжений.

Также работа способствует приобретению навыков самостоятельного расчета линейных электрических цепей и работы в среде MathCAD.

1. Расчёт электрической цепи переменного тока.

2 .1. В соответствии с вариантом задания начертим принципиальную му электрической цепи, также произвольно зададим направления токов ветвей (рис.8). Параметры элементов схемы и вид двухполюсников указаны в таблице 2.

Рис.8.

2.2. Рассчитаем сопротивление всех ветвей электрической цепи (рис.8) и запишем в показательной и алгебраической формах.

Комплексное сопротивление ветвей, с учётом внутреннего сопротивления источников электрической энергии:

(16)

, где Гц.

Запишем сопротивления ветвей в алгебраической форме:

Ом;

Ом;

Ом; (17)

Ом;

Ом,

Учитывая данные таблицы 2, получим:

Ом;

Ом;

Ом ; Ом; (18)

Ом,

Запишем сопротивления ветвей в показательной форме. В общем случае комплексное сопротивление ветви в показательной форме имеет вид:

, (19)

где

(20)

, при ; , при

Используя формулы (20), запишем комплексное сопротивление ветвей в показательной форме:

Ом;

Ом;

Ом; (21)

Ом;

Ом.

Определим активное и реактивное сопротивление каждой ветви:

для первой ветви: Ом; Ом;

для второй ветви: Ом; Ом;

для третей ветви: Ом; Ом;

для четвёртой ветви: Ом; Ом;

для пятой ветви: Ом; Ом;

3. Запишем основную систему уравнений электрического равновесия цепи (рис.8) для мгновенных значений токов и напряжений.

Топологические уравнения ветвей:

по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений:

; ;

.

По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений:

;

;

,

где В; В.

Компонентные уравнения ветвей:

; ; ; ;

; ; ; ; ; ;

;

В; В.

Компонентные и топологические уравнения ветвей составляют основную систему уравнений электрического равновесия цепи.

4. Используя символический метод расчёта электрических цепей, найдём токи и напряжения всех ветвей электрической цепи (рис.9).

Рис.9.

Предположим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток, комплексные амплитуды которых равны соответственно: (рис.9).

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для токов . В результате получим следующую систему уравнений:

, (20)

где комплексные сопротивления ветвей исследуемой электрической цепи (см. формулы 18); и комплексные амплитуды источников электрической энергии:

, . (21)

Подставляя (18) и (21) в систему уравнений (20), получим матричное уравнение:

(22)

где

; ;

Решая матричное уравнение (22) в среде MathCad (см. приложение В), получим следующие значения контурных токов:

А;

А; (23)

А.

Найдём комплексные амплитуды токов ветвей электрической цепи (рис.9):

А

А; (24)

А

А.

Используя (24) определим активную и реактивную составляющие токов ветвей:

для первой ветви: А; А;

для второй ветви: А; А;

для третей ветви: А; А;

для четвёртой ветви: А; А;

для пятой ветви: А; А;

Используя формулы перехода комплексных амплитуд к мгновенным значениям тока и учитывая, что циклическая частота , получим мгновенные значения токов ветвей:

А;

А;

А; (25)

А;

А.

Применяя обобщённый закон Ома для комплексных величин, найдём комплексные амплитуды напряжений ветвей:

;

;

; (26)

;

.

Подставляя (18), (21) и (24) в (26), получим:

;

;

; (27)

;

.

Вычисляя значения выражений (27), получим комплексные амплитуды напряжений ветвей:

В;

В;

В; (28)

В;

В.

Определим активную и реактивную составляющие напряжений ветвей:

для первой ветви: В; В;

для второй ветви: В; В;

для третей ветви: В; В;

для четвёртой ветви: В; В;

для пятой ветви: В; В;

Используя формулы перехода комплексных амплитуд к мгновенным значениям напряжения и учитывая, что циклическая частота , получим мгновенные значения напряжений ветвей:

В;

В;

В; (29)

В;

В.

2.5.Для каждой ветви электрической цепи построим полную векторную диаграмму токов и напряжений. Для этого воспользуемся данными, полученными в пункте 2.4. На рис.10 представлены диаграммы токов и напряжений ветвей электрической цепи (рис.9). Для улучшения наглядности модуль вектора ; модули векторов , увеличены в 1000 раз; модуль вектора , , увеличен в 100000 раз.

Рис.10.

2.6 Для ветвей электрической цепи с источниками ЭДС и найдём комплексную, полную, активную и реактивную мощности.

Найдём напряжения и токи в ветвях с источниками ЭДС и в показательной форме. Так как:

В;

В;

А;

А,

то, пользуясь формулами (20), получим:

В; ;

В;

А; ;

А; ,

поэтому

В;

В;

А;

А.

Комплексная мощность равна:

, (30)

где - комплексно-сопряжённое значение тока . Так как и , то комплексную мощность можно записать в следующем виде:

(31)

Модуль комплексной мощности есть полная мощность:

(32)

Мощность, выделяющаяся на активных элементах:

(33)

Мощность реактивных элементов:

(34)

Пользуясь формулами (30)-(34), найдём комплексную, полную, активную и реактивную мощности в ветвях с источниками ЭДС и . В результате получим:

Для первой ветви:

комплексная мощность:

полная мощность:

;

активная мощность:

Вт;

реактивная мощность.

Вт;

Для второй ветви:

комплексная мощность:

полная мощность:

;

активная мощность:

Вт;

реактивная мощность.

Вт;

2.7. Построим графики мгновенных значений токов, напряжений и мощностей в ветвях с источниками ЭДС и . Мгновенные значения токов и напряжений в ветвях исследуемой электрической цепи были найдены в пункте 2.4 (см. (25) и (29)).

Мгновенное значение тока ветви с источником ЭДС : А; с источником : А. Используя среду MathCad (см.Приложение Г), построим графики мгновенных значений токов и напряжений исследуемых ветвей. На рис.11 представлены графики мгновенных значений токов и .

Рис.11.

Мгновенное значение напряжения ветви с источником ЭДС : В; с источником : В. На рис.12 представлены графики мгновенных значений напряжений и .

Рис.12.

Мгновенные значения мощности получим перемножением мгновенных значений токов и напряжений соответствующих ветвей (см. Приложение Г):

На рис.13 представлены графики мгновенных значений мощностей исследуемых ветвей.

Рис.13