Основные свойства определителей.

Свойство 1. Определители квадратной матрицы и транспонированной матрицы равны.

Доказательство. Пусть - квадратная матрица и , где .

Тогда , переставив все сомножители каждого слагаемого, упорядочив по первым индексам, получим определитель .

Свойство 2. При перестановке двух столбцов (строк) матрицы определитель меняет знак.

Доказательство. Пусть - квадратная матрица, – матрица, полученная из матрицы в результате перестановки двух столбцов с индексами и . Пусть - транспозиция из , переводящая в , , тогда

Поэтому . Учитывая, что транспозиция является нечетной подстановкой, получим

.

Свойство 3. Определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (строки) равен нулю.

Доказательство. Пусть матрица имеет два одинаковых столбца, например . Обозначим соответствующую транспозицию . Тогда получим, что . Следовательно, для любого слагаемого определителя матрицы найдется слагаемое этого же определителя, содержащее те же самые элементы в произведении, но с противоположным знаком. Поскольку сумму определителя можно разбить на соответственные пары, то получим, что вся сумма равна 0.

Свойство 4. Если все элементы, какой либо строки (столбца) матрицы умножить на скаляр , то на скаляр умножится и сам определитель.

Доказательство. Пусть - квадратная матрица порядка и - матрица, получающаяся из матрицы в результате умножения -ой строки на скаляр :

.

Тогда, по определению определителя, .

Следствие. Определитель матрицы, у которой какие-либо две строки (столбца) пропорциональны, равен нулю.

Свойство 5. Если каждый элемент -ой строки матрицы есть сумма слагаемых, то определитель матрицы равен сумме m определителей, причем в матрице первого определителя в -ой строке ( -ом столбце) стоят первые слагаемые, в матрице второго – вторые и т.д., а остальные строки те же, что и в матрице .

Доказательство. Предположим, что каждый элемент -ой строки матрицы есть сумма слагаемых: . Тогда . Каждая из полученных сумм является определителем, описанным в условии свойства.

Свойство 6. Если к какому-нибудь столбцу (строке) матрицы определителя прибавить другой столбец (строку) матрицы, умноженный на произвольный скаляр, то определитель матрицы не изменится.

Доказательство. Запишем квадратную матрицу в виде . Предположим, что матрица получается из матрицы в результате прибавления к первому столбцу -го столбца, умноженного на скаляр , т.е. . По свойству 5: . В этой сумме второй определитель равен нулю. Следовательно, .

Следствие. Если к какому-нибудь столбцу (строке) матрицы определителя прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк) матрицы, то определитель матрицы не изменится.

Свойство 7. Если какой-нибудь столбец (строка) квадратной матрицы есть линейная комбинация других столбцов (строк) матрицы, то определитель матрицы равен нулю.

Миноры и алгебраические дополнения.

(Лекция 22.)

Определение. Минором -го порядка квадратной матрицы , называется определитель матрицы, получающейся из матрицы и содержащий строк и столбцов.

Минорами первого порядка матрицы являются ее элементы.

Определение. Определитель матрицы, полученной из квадратной матрицы вычеркиванием -ой строки и -го столбца, называется минором элемента и обозначается через .

Определение. Если из всех слагаемых определителя выбрать только те, которые содержат элемент , и вынести его за скобку то сумма, полученная в скобках называется алгебраическим дополнением элемента , и обозначается через .

Теорема. .

Доказательство. Из всех слагаемых определителя выберем только те, которые содержат элемент , и вынесем его за скобку, получим , определим, как связаны соответствующие подстановки и , если - подстановка, содержащая отображение , а - подстановка, полученная из удалением отображения . Для этого определим, сколько инверсий теряет подстановка . Пусть символов, находящихся перед символом образуют с ним инверсию, т.е. из символа, находящихся перед символом - символов больше чем . Следовательно, символов перед - меньше . Так как всего символов меньших, чем - , то оставшиеся символов меньших, чем , будут справа от , и значит образовывать с ним инверсии. Таким образом, символ дает инверсий. И значит, .

В итоге получим, .

Следствие. - разложение определителя по строке (столбцу).