Вычисление обратной матрицы.

Теорема. Если какая-либо цепочка неособенных строчечных элементарных преобразований переводит квадратную матрицу в единичную матрицу , то матрица обратима и эта же цепочка преобразований переводит матрицу в матрицу .

Доказательство. Предположим, что есть цепочка неособенных строчечных элементарных преобразований, переводящая квадратную матрицу в единичную матрицу . Тогда, .

Отсюда следует, что матрица обратима и .

Из последнего равенства следует, что цепочка неособенных строчечных элементарных преобразований переводит матрицу в матрицу .

Правило нахождения обратной матрицы: Для нахождения матрицы, обратной к -матрице , надо прямоугольную матрицу при помощи цепочки неособенных строчечных элементарных преобразований привести к виду ; получающаяся при этом матрица является обратной к матрице .

Подстановки.

(Лемма 20.)

Пусть , где – натуральное число.

Определение. Подстановкой множества называется инъективное отображение множества на себя.

Всякое отображение множества на себя удобно записывать в виде таблицы . Порядок чисел в первой строке несущественен, его можно как угодно изменить. Однако, при этом, необходимо, чтобы для всякого числа число было записано непосредственно под .

Определение. Множество всех подстановок множества обозначается . Элементы множества называются подстановками степени .

Если , то:

1. - инъективное отображение;

2. - сюрьективное отображение.

Так как - конечное множество, то из условия 1. следует условие 2. и наоборот.

Произведение двух подстановок определяется как композиция отображений , т.е. . Таким образом, , для .

Теорема. Алгебра - группа.

Доказательство. Так как композиция двух инъективных отображений множества на себя, является инъективным отображением множества на себя, то операция умножения на множестве является алгебраической.

Обозначим через тождественное отображение множества на себя. Тогда - единица множества .

Операция умножения на множестве является ассоциативной, на основании ассоциативности композиции отображений.

Наконец, для существует , которая является обратным элементом.

Определение. Группа - называется симметрической группой степени n и обозначается .

Определение. Перестановкой называется всякое упорядоченное расположение элементов множества .

Определение. Два символа перестановки образуют инверсию, если левый символ больше правого символа.

Обозначим через - число всех инверсий перестановки .

Определение. Перестановка называется четной, если – четная, в противном случае нечетная.

Определение. Подстановка называется четной, если четности ее перестановок-строк совпадают.

Определение. Подстановка вида называется транспозицией.

Лемма. Любая транспозиция является нечетной подстановкой.

Доказательство. Пусть - транспозиция, переводящая в . Будем полагать, что . Легко видеть, что пара элементов может образовать инверсию, если хотя бы один из ее элементов есть или .

Если или , то среди пар и нет инверсий.

Если , то среди пар инверсиями являются следующие: , всего инверсий.

Если , то среди пар инверсиями являются следующие: , всего инверсий.

Итак, транспозиция содержит всего инверсий, следовательно - нечетная подстановка.

Определение. Знаком подстановки называется число равное .

Определители.

(Лекция 21.)

Пусть где - коммутативное кольцо или поле.

Рассмотрим множество всех произведений элементов матрицы , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Всякий элемент множества содержит сомножителей и может быть записан в виде .

Такому элементу поставим в соответствие подстановку .

Верно и обратное, каждой подстановке соответствует единственный элемент множества , а именно .

Таким образом, отображение является взаимно однозначным отображением.

Определение. Определителем матрицы называется сумма .

Сумма содержит слагаемых, причем каждой подстановке в этой сумме соответствует в точности одно слагаемое.

Определитель матрицы обозначается: .

Если , то .

Если , то .

Если , то .