Числ хар-ки системы св. Начальный и центральный моменты сис св.

Начальным моментом порядка R+S сис СВ { }. ДСВ: = P{ξ= }. НСВ: . Частный случай: ; .

Центральным моментом порядка R+S сис СВ {ξ,η} наз величина . ДСВ: = =P{ξ= }; НСВ: η . Частный случай: .

Свойства чил хар-к сис СВ. Теорема1. Если СВ ξ и η имеют конечные моменты ожидания, то справедлива формула M{ξ+η}=M{ξ}+M{η}. Доказ. По опред M{ξ+η }=

Теорема2. Если СВ ξ и η независимые и имеют конечные мат ожидания, то справед формула: M{ξ*η}=M{ξ}*M{η} Доказ. По опред M{ξ*η}= . Теорма3.если СВ ξ и η независимы и имеют конечные дисперсии, то справедлива формула: D{x±y}=D{x}+D{y}. Доказ. D{x+y}=M({x+y )- {x+y}=M( )-(M(x)+M(y) = M( +2M(xy)+M( )- (x)-2M(x)M(y)- (y)=D(x)+D(y). Для разности D(-y)=D(-1*y)= D(y)=D(y).

Числ хар-ки зависимости СВ. пусть ξ и η произвольные СВ, тогда D(ξ+η)=M( )+2M(xy)+M( )- -2M(x)M(y)- =D(x)+D(y)+2(M(xy)-M(x)M(y)).

Ковариацией (корреляционным моментом)двух СВ ξ и η наз величина равная: . ДСВ: . НСВ: .

Свойства. 1)k(x,y)=M(x,y)-M(x)M(y); 2) k(x,y)=D(x); 3)Если ξ и η независимы, то k(x,y)=0 (обратно не верно); 4)M(x,y)=M(x)M(y)+k(x,y); 5)D(x,y)=D(x)+D(y)+2k(x,y). Величина ковариации зависит от размерности x и y. Удобнее в качестве хар-ки связи исп величину, независящую от размерности этих величин.

Коэффициент корреляции СВ ξ и η, для кот сущ-бт отличные от нуля дисперсии наз величина обоз . Свойства. 1)| |≤1; 2)Если ξ и η связаны лин-ой зависимостью вида y=ax+b, то , если a≥0 b , если a<0.

СВ ξ и η наз некорреляционной, если Если ; если , наз положительной корреляцией; если , то отриц-ой корреляцией.

Кривые регрессии. Линейная среднеквадратичная регрессия.

Пусть дана сис величин (x,y). Мат ожидание величины y, вввычисляется при усл, что величина x приняла опред значение наз усл мат ожидания y. ДСВ: M{Y|X= }= ; НСВ: M{Y|X= }= .

Усл мат ожидания M{Y|X} есть некоторая ф-ия аргумента X, кот харак-ет зависимость среднего значения величины Y от величины X. Эту ф-ию наз регрессией СВ Y на СВ X, а график этой ф-ии наз кривой регрессии.

Закон больших чисел и центральная предельная теорема.

Сходимость случайных последовательностей.

Говорят, что последовательность СВ {ξ, ( } сходится к величине ξ( ) с вероятностью 1, если , кроме может быть для , где множество A (событие A) имеет нулевую вероятность.

Говорят, что последовательность СВ { } сходитсяк СВ ξ по вероятности {ξ, n} ξ, если СВ ξ по вероятности выполняется: P{| |> } 0 или P{| |≤ } Свойства сходимости по вероятности. 1) 2) -непрер, то g( ; 3) , то .

Говорят, что последовательность СВ { }=>ξ, если для принадлежащего к области непрер ( . Свойства сходимости по распределению. 1)Если , , то а ; 2)Если , то ; 3)Если , то ; 4)Пусть даны две ф-ии , -харак-и ф-ии величин , тогда, если ф-ия рапред . Если , то 5)Если установит сходимость по опред и -непрер в тт A и B, то P( )=>P(ξ ).

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.

ЗБЧ-ряд теорем, в кот устанавливается факт приближения средних хар-к большого числа СВ к некот постоянному. Теорема1.(Первое неравенство Чебышева). Если неотр СВ x,имеет конечное мат ожидание, то >0 справедливо неравеноство::: P(x≥ )≤ ; P(x< )≥1- Доказ. НСВ: M(x)=

Теорема2.(Второе неравенство Чебышева). Для любой СВ xxxтттакой, что сущ конечное мат ожид и дисперсия, справедливо: P(|x-M(x)|≥ )≤ ; P(|x-M(x)|< )≥1- . Доказ. Y=(x-M(x) ; M(x)=D(x), тогда по Т1 справедливо:P(y≥ )≤ ; (y≥ ; F=|x-M(x)|≥ ; P(|x-M(x)≥ )≤ .

Закон больших чисел Чебышева.

Пусть имеется последовательность { }-независимых и одинаково распред СВ, таких, что M( , D( . Предположим, что =

M( =M( D( =D( Теорема3.(Закон больших чисел в форме Чебышева). Если -последовательность одинаково распред независимых величин, имеющих M(x), D(x)< , ттто сссреднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к мат ожиданию: y= Исп 2-ое неравенство Чебышева получим: P((y-M(y))< ≥1- 1

P{| }≥1 . Теорема4.(Обобщенная теорема Чебышева). Если -независимые СВ с М( , …, М( ) и D( ), …, D( )<L(одно и тоже число), то (**)

Если для последовательности , то говорят, что эта последовательность удовлетворяет ЗБЧ. Теорема5.(ЗБЧ в форме Хинчина). Если последовательность независимых, одинаково распределенных величин, имеющих М( , то среднее арифметическое: М( . Теорема6.(Теор Бернулли). Пусть x число появлений события А в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p=P(A). Тогда w(A)=x/n (отношение частот наступления события А). Событие А сходится по вероятности к вероятности p события А: w(A) . Доказ. Т.к. x-СВ распред по закону Бернулли, то M(x)=np; D(x)=npq, где q=1-p. Тогда относит частота w=x/n: M(w)=M(x/n)= =p; D(w)=D(x/n)= D(x) =pq/n. Исп 2ое неравенство Чебышева к относит частоте величины w: 1)P{|w-M(w)|< }=P{|w-p\< }≥1 - =1- 1; 2) P{|w-P(A)|≥ ≤ , где P(A)=P, при q=1-p