- •Пространство элементарных событий.
- •Операции над событиями.
- •Аксиома теории вероятности.
- •Наивероятнейшее число успехов.
- •Числовые характеристики св.
- •Дисперсия св.
- •Начальный и центральный моменты.
- •Основные законы распределения дсв.
- •Основные законы распределения нсв.
- •Числ хар-ки системы св. Начальный и центральный моменты сис св.
- •Придельные теоремы тв.
Числовые характеристики св.
Мат ожиданием ДСВ наз сумма произведений всех возможных значаний СВ на соответствующие им вероятности mξ=M(ξ)=Eξ= , при усл, что данный ряд абсолютно сходится.
Мат ожиданием НСВ с плотностью распределения f(x) наз величина mξ=M(ξ)= , при усл, что данный интеграл абсолют сходится.
Свойства мат ожидания. 1)M(C)=C; M(C)=C*1=C; 2) φ(ξ): M(φ(ξ))=
ДСВ; , НСВ. 3)Мат ожидание произвед постоянной B на СВ = произвед этой постоянной на мат ожидание этой величины: M(C*ξ)=CM(ξ). Доказ. CM(ξ)= =C . 4)Мат ожид суммы некоторой постоянной ДСВ. M(ξC)=M(ξ)+C. Доказ. = =M(ξ)+C*1.
СВ ξ= ξ-М(ξ) наз центрированной СВ, а ξ-М(ξ)-отклонение СВ от мат ожидания. М(ξ)=0. Мат ожидание явл важнейшей хар-ой положения. Среди прочих хар-к положения выделяют моду(Мо) и медиану(Ме).
Модой СВ наз наиб вероятность значение для ДСВ и значение кот соответствует max плотности вероятности для непрер СВ. если max 1 распред наз одномодальным. Если max 2-двумодальным.
Медианой СВ ξ наз такое значение, для кот вероятность того, что СВ ξ<Me=P(ξ≥Me), т.е. корень уранения F(x)=1/2.
Дисперсия св.
Дисперсией наз мат ожидание квадрата отклонения значения СВ от ее матем ожидания. D(ξ)=M((ξ-mξ)2). Для ДСВ: D(ξ)= для НСВ: D(ξ)= . Свойства. 1)D(ξ)=M(ξ2)-M2(ξ) Доказ. D(ξ)= M(ξ)2-2M(ξ)*M(ξ)+M2(ξ)=M(ξ)2-M2(ξ) 2)D(const)=0; Доказ. D(C)=M((C-Mc)2)=M((C-C)2)=M(0)=0. 3)D(C*ξ)=C2*D(ξ) Доказ. D(C*ξ)=M((Cξ)2)-M2(Cξ)=C2M(ξ2)-C2M2(ξ)=C2(M(ξ2)-M2(ξ))=C2D(ξ). 4)D(C+ξ)=D(ξ).
Величина σξ=σ(ξ)= наз среднеквадратичным отклонением СВ. СВ наз нормированной σξ=1. ξ/σξ. СВ наз стандартизованной, если M(ξ)=0, а среднеквадратичная =1. Стандартизованной СВ наз: [ξ-M(ξ)]/σξ. СВ наз вырожденной, если D(ξ)=0. Выраж СВ-это величина, кот принимает ед значение с вероятностью=1.
Начальный и центральный моменты.
Начальным моментом k-ого порядка СВ ξ наз величина mk=M(ξk).
ДСВ: mk= ; НСВ: mk= . Первый центральный момент для любых СВ=0, μ1=0; второй центр момент μ2=D(ξ).
V1=M1(x); V2=M(x2); V3=M(x3); V4=M(x4) μ1=0; μ2=D(x)=V2-V12; μ3=V3-3V1V2+2V13; μ4=V4-4V1V3+6V12V2-3V14.
Теорема. Неравенство Йенсена. Пусть ф-ия g(x) выпукла вниз (вверх), тогда для любой СВ ξ с конечным 1ым моментом, справедливо M(g(ξ))≥g(M(ξ)) {M(g(ξ))≤g(M(ξ))}, причем равенство возможно, если СВ ξ вырожденная СВ.
Следствие. Если M(|ξ|k)<∞, k>1, то M(|ξ|)≤ . Если СВ распределена симметрично относительно мат ожидания, то все центр моменты нечетных порядков равны нулю. Для хар-ки степени отклонения распределения от симметричного исп центр момента третьего порядка.
Величина А= μ3/σξ3 наз коэффециентом ассимеметрии или коэффициент скошенности.
E=μ4/ σξ4 наз экссесом СВ или коэффициентом остроконечности. Эксесс показывает на сколько распред отличается от так называемого норм распред, для кот Е=0.
Квантели и критич точки распределения.
Квантилем, отличающим заданной вероятности β, распределения центр СВ ξ наз действ число , удовлетворяющее уравнению P(ξ< )=β. Квантиль порядка 1.2 есть медиана.
Верхней критической точкой порядка α распределенной НСВ наз действ число t2, удовлетворяющее уравнению P(ξ≥tα)=α.
Характеристическая функция.
Хар-ой ф-ей gx(t) СВ х наз комплекснозначная ф-ия действительного аргумента t, определенная как мат ожидание СВ eitx: gx(t)=M(eitx). eitx=-1; eitx=cost+isint. ДСВ: g(t)= . НСВ: g(t)= .
Свойства. 1)g(0)=1; |g(t)|≤1; g(0)= =1; |g(t)|≤| | ≤ ≤ =1. 2)y=ax+b; gy(t)=gx(at)eibt; gy(t)=M(eity)= M(eit(ax+b))=M(eitax*eibt)= eibtM(eitax)=itb*gx(at). 3)Если сущ конечное матем ожидание СВ xk, то хар-ая ф-ия в нуле g(k)(0)=ik*M{xk} НСВ: пусть g(t)= eitxdx; g’(t)=i eitxdx; g’(0)=i dx=iM{x} Следствие: mk=M{xk}=1/ik*g(k)(0) 4)Если СВ x имеет конечные моменты любого порядка, то g(t) можно представить в виде ряда следующего числа: g(t)= – ряд Макларена.