Основные законы распределения дсв.

1)Выражденное распределение.

Говорят, что СВ Х имеет выражденное распред с параметром а, если она может принять един знач x=a с вероятностью 1. M(x)=a; D(x)=0

2)Распределение Бернулли.

Говорят, что СВ Х имеет распределение Бернуллис параметром p (x≤Вр), если она может принять 2а значения 0 и 1 с вероятностями p и q. Т.е. СВ Х есть число появлений некоторого события в одном испытании по схеме Бернулли с вероятностью успеха р. g(t)= ; M(x)=0*q+1p=p; D(x)=(0-p)²q+(1-p)²p= p²q+q²p=pq(p+q)=pq.

3)Биноминальное распределение.

Говорят, что СВ Х распределена по биноминальному закону с параметрами n и p, если она может принять одно из своих возможных значений m с вероятностью P(x=m)=P_n(m)=C_n^mpⁿq^n-m, q=1-p; m=0,n. Т.е. СВ Х есть число появлений некот события в n испытаниях по схеме Бернулли при вероятности появления события при испытании=р. M(x)=1/i*q’(0); g’(t)=n(q+pe^it)^n-1pie^it; g’(0)=inp(q+p)^n-1=inp; M(x)=np; D(x)=npq; σ= = ; A= ; E= .

4)Геометрическое распределение.

Говорят, что СВ Х имеет геом рапред с парам р, если СВ может принять одно из своих возможных значений m=1,2,3… с вероятностью P(x=m)=pq^m-1, где q=1-p. M(x)= ^m-1=p ^m-1= p ^m)’= p( ^m)’ =p( )’= p ₂=p/p²=1/p; D(x)=q/p²; A= ; E= ².

5) Закон Пуассона.

Говорят. Что СВ ξ распред по з Пуассона с парам λ>0, если вероятность того, что СВ ξ примет опред значен m. P(ξ=m)=P_m=λ^me^-λ/m!, где ь=0,1,2… З.Пуассона явл пределной формой биноминального распред, при n->∞, p->0. g(t)=e^λ(e^it-1)-характер ф-ия; M{ξ}=1/i*g’(0)=λ; D{ξ}=λ

Основные законы распределения нсв.

1)З.равномерной плотности.

Говорят, что ξ равномерно распределена на отрезке [a,b], ξ V[a,b], если ее плотность распред вероятности постоянна на этом отрнзке: f(x)= 1/b-a, x [a,b]; 0, x F(x)= =0, x≤a; , a≤x≤b; 1, x>b. M{ξ}= = ; D{x}=(b-a)²/12; σ= ; A=0; E=-1,2. Вероятность попадания в интервал [a,b]: P(α≤ξ≤β)=F(β)-F(α)= .

2) Показательное распределение.

Говорят, что ξ распред по показ закону с парам α>0, если ее плотность распред выгляди след образом: f(x)=αe^-αx, x≥0; 0, x<0. F(x)= ^-αtdt= -e^-αt|₀^x= 1-e^-αt, x≥0; 0, x<0. g(t)=M(e^itx)= ^-αte^itxdx= e^(it-α)x|₀^∞= . M{ξ}= = ^-αxdx=|u=x; du=dx; dv=e^-αx; v=-1/2e^-αx |=2[-x/α*e^-α|₀^∞- ^-αx)dx]=1/2e^-αx|₀^∞=1/2; D{ξ}=M{ξ²}-M²{ξ}; M{ξ²}= 2e^-αxdx=2/α². D{ξ}= ₂=1/α². σ=1/2; A=2; E=6.

3) Нормальный закон распределения.

Говорят, что ξ распред по норм закону с парам α R, σ>0, если плотность распред имеет вид: f(x)= *exp{-(x-α)²/2σ²}, x R. M{ξ}= = ^{-(x-α)^2/2σ^2}dx= | =t; x= σt+α; dx= σdt|= e^{-t^2}dt= e^{-t^2}dt+ ^{-t^2}dt=0+ =α; D{ξ}= ²e^{-(x-α)^2/2σ^2}dx= |x-α= dx= σdt|= ²t²*

e^{-2σ^2t^2/2σ^2}* σdt=1/ ²t²dt=2σ²/ ²e^{-t^2dt}=|u=t; du=dt; dv=te^{-t^2}dt; v=-e^{-t^2}|=σ². A=0; E=0.

СВ распред по норм закону с парам 0 и 1 наз стандартной норм величиной. a=0; σ²=1. Плотность вероятности f_0,1(x)=1/ *e . Функция распределения F_0,1(x)=1/ dx.

Функция СВ.

Теорема1. ξ-НСВ, F_ξ(x), f_ξ(x)?=, кот дифференцируема и монотонна, тогда ф-ия плотности СВ =φ(ξ) можно записать f_η(x)=|φ^-1(x)’|*f_ξ(φ^-1(x))

Доказ. Предположим φ(x) возрастающ ф-ия => φ^-1(x) => ф-ия распределена F_η(x)=F_φ(ξ)(x)=P(φ(ξ)<x)=P(ξ< φ^-1(x))=F_x(φ^-1(x))= =|t= φ^-1(z);

dt=(φ^-1(z))’dz; t= φ^-1(z); z=x|=

η=φ(ξ): f_η(x)-|( φ^-1(x))’|*f_ξ(φ^-1(x))=

Следствие. Если ξ и η=φ(ξ) ДСВ, то рядраспред СВ η может быть получен непосредственно путем подсчета вероят значений величины ξ. З(η=y_R)=

Системы СВ.

Совокупность СВ X={X₁,X₂,…X_n} заданных на одном пространстве наз случайным вектором. Ф-ия распред n-мерного случ вектора наз ф-ей вида: F_x(x₁,x₂,..,x_n)=P(X₁<x₁, X_i<x_i,…,X_n<x_n)

Свойства ф-ии распред. 1) ; 2) ; ; F(∞,y)=P(x<∞,Y<y)= 1*P(Y<y)= ; 3) F(∞;∞)=P(X<∞, Y<∞)=1; 4)P(a≤x≤b, c≤y≤d)=F(b,d)-F(b,c-[F(a,d)-F(a,c)].

Говорят, что случ вектор {x,y} имеет дискр распред, если множество значений пар его компонент (X_i,Y_i)-конечно и =1

Табл содержащая перечень возможных комбинаций знач векторок и соответствующих им вероятностей наз табл совместного распред.

Гов, что случ вектор имеет непрер распред,если сущ неотр ф-ия >0,что для ; f_xy(x,y)-плотность совместного распред.

Свойства плотности распред. 1)f_xy(x,y)≥0; 2) 3) ; 4) P((x,y) )= P(a≤x≤b, c≤y≤d) = ; 5)Если x и y имеет непрер совмест распред, то каждое из этих величин также имеет непрер распред, причем: f(x)= ; f(y)= .

Независимость СВ.

СВ x₁,x₂,…x_n наз независимыми, если для x₁,x₂,…x_n выполняется равенство: F(X₁,X₂,…X_n)= .

ДСВ X₁,X₂,…X_n независимы, если для x₁,x₂,…x_n P(X₁=x₁, X_i=x_i,…,X_n=x_n)= .

НСВ X₁,X₂,…X_n независимы, если для x₁,x₂,…x_n выполняется равенство: f(x₁,x₂,…x_n)= .

Усл плотностью распред величины X, входящей в систему {X,Y}, при усл, что величина У приняла опред значение у, назф-ия = .

Ф-ия двух СВ. Задача композиции.

Пусть {X,Y}, Z=φ(X,Y), φ(X,Y)-неслучайная ф-ия, тогда =P(Z<z)= ,{X,Y}-дискр распр; {X,Y}-непрер распр.

M{ φ(X,Y)}= ДСВ

M{ φ(X,Y)}= ДСВ

Задача комбинации-это задача поред з.распред СВ по известным законам самих величин. Теорема1(Фор свертки).Ели СВ Х,У-независимые СВ и имеют непрер распред с плотностями , , то . Доказ. . Теорема2. Если X и Y независимы, P(x+y=Z_k)= . Теорема3. Если X и Y независимы и X , то Z=X+Y, Z . Теорема4. Если X и Y независимы и X Y , то Z=X+Y . Распред наз устойчивым по суммированию, если сумма 2ч величин из одного и того же распред имеет то же распред. Теорема5. Если Xи Y-независимы, X ; Y , то Z=X+Y . Теорема6. Если Xи Y независимы, X , то Z=X+Y