Числовые характеристики св.

Мат ожиданием ДСВ наз сумма произведений всех возможных значаний СВ на соответствующие им вероятности m_ξ=M(ξ)=E_ξ= , при усл, что данный ряд абсолютно сходится.

Мат ожиданием НСВ с плотностью распределения f(x) наз величина m_ξ=M(ξ)= , при усл, что данный интеграл абсолют сходится.

Свойства мат ожидания. 1)M(C)=C; M(C)=C*1=C; 2) φ(ξ): M(φ(ξ))=

ДСВ; , НСВ. 3)Мат ожидание произвед постоянной B на СВ = произвед этой постоянной на мат ожидание этой величины: M(C*ξ)=CM(ξ). Доказ. CM(ξ)= =C . 4)Мат ожид суммы некоторой постоянной ДСВ. M(ξC)=M(ξ)+C. Доказ. = =M(ξ)+C*1.

СВ ξ= ξ-М(ξ) наз центрированной СВ, а ξ-М(ξ)-отклонение СВ от мат ожидания. М(ξ)=0. Мат ожидание явл важнейшей хар-ой положения. Среди прочих хар-к положения выделяют моду(Мо) и медиану(Ме).

Модой СВ наз наиб вероятность значение для ДСВ и значение кот соответствует max плотности вероятности для непрер СВ. если max 1 распред наз одномодальным. Если max 2-двумодальным.

Медианой СВ ξ наз такое значение, для кот вероятность того, что СВ ξ<Me=P(ξ≥Me), т.е. корень уранения F(x)=1/2.

Дисперсия св.

Дисперсией наз мат ожидание квадрата отклонения значения СВ от ее матем ожидания. D(ξ)=M((ξ-m_ξ)²). Для ДСВ: D(ξ)= для НСВ: D(ξ)= . Свойства. 1)D(ξ)=M(ξ²)-M²(ξ) Доказ. D(ξ)= M(ξ)²-2M(ξ)*M(ξ)+M²(ξ)=M(ξ)²-M²(ξ) 2)D(const)=0; Доказ. D(C)=M((C-Mc)²)=M((C-C)²)=M(0)=0. 3)D(C*ξ)=C²*D(ξ) Доказ. D(C*ξ)=M((Cξ)²)-M²(Cξ)=C²M(ξ²)-C²M²(ξ)=C²(M(ξ²)-M²(ξ))=C²D(ξ). 4)D(C+ξ)=D(ξ).

Величина σ_ξ=σ(ξ)= наз среднеквадратичным отклонением СВ. СВ наз нормированной σ_ξ=1. ξ/σ_ξ. СВ наз стандартизованной, если M(ξ)=0, а среднеквадратичная =1. Стандартизованной СВ наз: [ξ-M(ξ)]/σ_ξ. СВ наз вырожденной, если D(ξ)=0. Выраж СВ-это величина, кот принимает ед значение с вероятностью=1.

Начальный и центральный моменты.

Начальным моментом k-ого порядка СВ ξ наз величина m_k=M(ξ^k).

ДСВ: m_k= ; НСВ: m_k= . Первый центральный момент для любых СВ=0, μ₁=0; второй центр момент μ₂=D(ξ).

V₁=M₁(x); V₂=M(x²); V₃=M(x³); V₄=M(x⁴) μ₁=0; μ₂=D(x)=V₂-V₁²; μ₃=V₃-3V₁V₂+2V₁³; μ₄=V₄-4V₁V₃+6V₁²V₂-3V₁⁴.

Теорема. Неравенство Йенсена. Пусть ф-ия g(x) выпукла вниз (вверх), тогда для любой СВ ξ с конечным 1ым моментом, справедливо M(g(ξ))≥g(M(ξ)) {M(g(ξ))≤g(M(ξ))}, причем равенство возможно, если СВ ξ вырожденная СВ.

Следствие. Если M(|ξ|^k)<∞, k>1, то M(|ξ|)≤ . Если СВ распределена симметрично относительно мат ожидания, то все центр моменты нечетных порядков равны нулю. Для хар-ки степени отклонения распределения от симметричного исп центр момента третьего порядка.

Величина А= μ₃/σ_ξ³ наз коэффециентом ассимеметрии или коэффициент скошенности.

E=μ₄/ σ_ξ⁴ наз экссесом СВ или коэффициентом остроконечности. Эксесс показывает на сколько распред отличается от так называемого норм распред, для кот Е=0.

Квантели и критич точки распределения.

Квантилем, отличающим заданной вероятности β, распределения центр СВ ξ наз действ число , удовлетворяющее уравнению P(ξ< )=β. Квантиль порядка 1.2 есть медиана.

Верхней критической точкой порядка α распределенной НСВ наз действ число t₂, удовлетворяющее уравнению P(ξ≥t_α)=α.

Характеристическая функция.

Хар-ой ф-ей g_x(t) СВ х наз комплекснозначная ф-ия действительного аргумента t, определенная как мат ожидание СВ e^itx: g_x(t)=M(e^itx). e^itx=-1; e^itx=cost+isint. ДСВ: g(t)= . НСВ: g(t)= .

Свойства. 1)g(0)=1; |g(t)|≤1; g(0)= =1; |g(t)|≤| | ≤ ≤ =1. 2)y=ax+b; g_y(t)=g_x(at)e^ibt; g_y(t)=M(e^ity)= M(e^it(ax+b))=M(e^itax*e^ibt)= e^ibtM(e^itax)=itb*g_x(at). 3)Если сущ конечное матем ожидание СВ x^k, то хар-ая ф-ия в нуле g^(k)(0)=i^k*M{x^k} НСВ: пусть g(t)= e^itxdx; g’(t)=i e^itxdx; g’(0)=i dx=iM{x} Следствие: m_k=M{x^k}=1/i^k*g^(k)(0) 4)Если СВ x имеет конечные моменты любого порядка, то g(t) можно представить в виде ряда следующего числа: g(t)= – ряд Макларена.