Пересечение конуса прямой линией.
Для построения точек пересечения прямой с поверхностью конуса через данную прямую следует провести вспомогательную плоскость общего положения, которая пересекала бы поверхность по образующим. Такая плоскость должна быть проведена через данную прямую и вершину конуса. Чтобы определить образующие по которым плоскость пересекает конус, построим след секущей плоскости на плоскости основания конуса.
Конические сечения.
1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая — эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.
2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая — парабола, целиком лежащая на одной полости.
3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения — гипербола — состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.
Метод концентрических сфер.
Для построения линии пересечения поверхности вращения с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии променяют способ вспомогательных концентрических сфер.
Теоремы.
Теорема 1. Теорема Монжа.
Если две поверхности второго порядка вписаны или описаны вокруг третьей, то линия пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линии касания.
Теорема 2.
Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и по второй кривой, которая является плоской.
Теорема 3. О двойном прикосновении.
Если две поверхности второго порядка имеют две точки M и N прикосновения, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения.
Касательные плоскости к поверхности конуса.
Алгоритм решения:
Проводим проекции l2 и l1 прямолинейной образующей, проходящей через точку А(А2): l2(S2A2), l1(S111);
Находим А1: А1 Î l1;
Проводим проекции m1 и m2 параллели m, проходящей через точку А(А1, А2) ;
Строим проекции касательной прямой t(t1, t2) к окружности m(m, m2): t2 = m2, t1 – касательная к m1. Касательная плоскость S(t Ç l) касается поверхности конуса вдоль всей образующей l(l1, l2). Касательную плоскость S можно задать образующей l и касательной t1(t11, t12) к основанию конуса в точке 1(11, 12) (Рис. 4 в).
Нормаль в точке А конуса перпендикулярна образующей, проходящей через эту точку. Нормали в точках одной параллели образуют нормальный конус, ось которого совпадает с осью исходного конуса, а вершина нормального принадлежит его оси. Это упрощает построение проекций нормали в точке А. Сначала проводим проекцию главного меридиана нормального конуса n2’ перпендикулярно главному меридиану конуса в точке 22, 22 Î n2. n2 Ç i2 = O2, O(O2) – вершина нормального конуса (рис. 4 в).
О2А2 – фронтальная проекция n2 нормали n, О1А1=n1 – горизонтальная проекция, n(n1, n2) – нормаль к конусу в точке А.
Касательные плоскости к поверхности цилиндра.
Касательные плоскости кривой поверхности.
Расскажите о прямоугольной изометрической проекции.
Расскажите о прямоугольной диметрической проекции.
Как изображаются окружности в аксонометрических проекциях.
При параллельном проецировании окружности на какую-нибудь плоскость П* получаем ее изображение в общем случае в виде эллипса.
http://www.t-agency.ru/geom/part12/part12-6.html#