Вывод распределения по Максвеллу

Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Джеймс Клерк Максвелл Рассмотрим пространство скоростных точек (каждую молекулу представляем как точку в системе координат  ) в стационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объема  . Так как газ стационарный, количество скоростных точек в   остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно, поэтому функции плотности вероятности для всех направлений одинаковы.

Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента   скорости молекулы не зависит от   и  компонент.

 - фактически вероятность нахождения скоростной точки в объеме  .

Правая часть не зависит от   и  , значит и левая от   и   не зависит. Но   и   равноправны, значит левая часть не зависит также и от  . Значит, это константа.

Теперь нужно сделать принципиальный шаг - ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):

где   Дж/К - постоянная Больцмана.

Все направления равноправны:

Чтобы найти среднее значение  , проинтегрируем её вместе с функцией плотности вероятности от минус до плюс бесконечности:

Отсюда найдём  :

Функция распределения плотности вероятности для   (для   и   аналогично):

Рассмотрим теперь распределение по величине скорости. Вернемся в пространство скоростных точек. Все точки с модулем скорости   лежат в шаровом слое радиуса   и толщины  , и   - объем этого шарового слоя.

Так, мы получили   - функцию плотности вероятности, которая и называется распределением Максвелла.

Закон кулона :

Зако́н Куло́на — это закон о взаимодействии точечных электрических зарядов.

Сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

1. точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров — впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;

2. их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;

3. взаимодействие в вакууме.

Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов.^[2]

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

где   — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; q₁,q₂ — величина зарядов;   — радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — r₁₂); k — коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые — притягиваются).

Коэффициент k

В СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент k' равен единице.

В СИ   = 8,9875517873681764×10⁹ (Кг·м³)/(Кл²·c²) (или Ф⁻¹·м) и записывается следующим образом:

где ε₀ ≈ 8,854187817×10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная.

В однородном изотропном веществе в знаменатель формулы добавляется диэлектрическая проницаемость среды ε.

В СГСЭ

В СИ

Закон Кулона, принцип суперпозиции и уравнения Максвелла

Закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей полностью равносильны уравнениям Максвелла для электростатики divD = 4πρ и rotE = 0. То есть закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей выполняются тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла для электростатики и, наоборот, уравнения Максвелла для электростатики выполняются тогда и только тогда, когда выполняются закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей